개발일기

$\displaystyle \int \frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx$의 적분을 수행하는 것을 기준으로 설명한다. 나머지 정리고등학교 1학년에서 배우는 가장 기초적인 수준의 정리를 활용하면 다항식의 나눗셈을 위아래로 길게 전개하지 않아도 수식을 간단히 다항함수와 진유리함수의 합으로 나타낼 수 있다.$P(x)=A(x)Q(x)+R(x)$ (단, $deg R(x)위 예시에 대입하면 $ x^4-2x^2+4x+1 =( x^3-x^2-x+1 )Q(x)+R(x)$이므로, 나머지 정리의 성질에 따라서 $Q(x)$와 $R(x)$는 각각 $ax+b$와 $cx^2+dx+e$로 나타내어질 수 있는 일차함수와 이차함수임을 알 수 있다. 이를 미리 대입하면 $ x^4-2x^2+4x+1 =( x^3-..

완전미분방정식은 보통 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 꼴의 미분방정식을 풀기 위해 도입하는 방법으로, $M(x,y)$와 $N(x,y)$를 $x$와 $y$에 대한 어떤 2변수함수 $F(x,y)$의 편미분으로 간주하는, 즉 주어진 미분방정식의 좌변을 $F(x,y)$의 전미분으로 간주하는 것이다. 그렇게 간주함으로써 복잡한 미분방정식을 푸는 것을 $dF=0$의 해를 구하는 것, 즉 $F(x,y)=c$의 해를 구하는 것으로 치환 가능하다. 예를 들어 $F(x,y)=x^2+y^2+xy$에 대하여 $F(x,y)$의 값이 변하지 않는 해곡선을 구한다고 할 때, 이를 풀어 쓰면 $\displaystyle dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partia..

[공리 1] $\mathbb{R}$의 임의의 원소 $a$와 $b$에 대해 $a$에 $b$를 더하는 것이 가능하고 그의 결과가 $\mathbb{R}$의 원소로 유일하게 나타난다.이때 더하는 것을 덧셈이라 하고 기호 $+$로 나타내고, 그 결과를 $a+b$로 나타내고 합이라 한다. [공리 2] $\mathbb{R}$의 임의의 원소 $a$와 $b$에 대해 $a$에 $b$를 곱하는 것이 가능하고 그의 결과가 $\mathbb{R}$의 원소로 유일하게 나타난다.이때 곱하는 것을 곱셈이라 하고 기호 $\cdot$로 나타내고, 그 결과를 나타내는 실수를 $a\cdot b$ 또는 $ab$로 나타내고 곱이라 한다. [공리 3] $\mathbb{R}$의 임의의 원소 $a$와 $b$에 대해 다음이 성립한다.$a+b=b+a$,..

이하 내용은 필자가 실수 전체의 집합의 정의에 관해 개인적으로 탐구한 내용을 정리한 것일 뿐 수학적 엄밀성을 보장하지 않습니다.1. 데데킨트 절단데데킨트 절단은 코시 유리수 수열과 함께 유리수 체계로부터 실수 체계로의 확장을 가장 잘 대표하는 논리 중 하나이다. 유리수 전체의 집합 $\mathbb{Q}$를 분할한 두 부분집합 $A$와 $A^C$가 존재하고, 아래의 조건들을 만족한다고 하자.1. $A\neq\emptyset$2. $A\neq\mathbb{Q}$3. $\forall x,y\in\mathbb{Q},(y>x\wedge y\in A)\Rightarrow x\in A$4. $\forall x\in A,\exists y\in A, y>x$3번 조건과 4번 조건의 차이점을 자세히 알아보자.3번 조건은 ..

$\displaystyle \frac{x(3x+b)+c}{x}=\frac{x(3x+b)}{x}+\frac{c}{x}=3x+b+\frac{c}{x}$

수학적 귀납법$P(n)$을 자연수 $n$에 관한 명제라고 하자. $\forall n\in\mathbb{N}$에 대하여 명제 $P(n)$이 참임을 보일 때엔, $P(1)$이 참인지 확인하고, $P(k)$가 참이라고 가정하였을 때 $P(k+1)$이 참인지 확인한다. 위로 유계(bounded above)와 아래로 유계(bounded below), 상계(upper bound)와 하계(lower bound), 유계집합(bounded set), 최소 상계 또는 상한(least upper bound, supremum)과 최대 하계 하한(greatest lower bound, infimum) 집합 $A$에 대하여 $A\neq\emptyset, A\subseteq \mathbb{R}$일 때, $\forall a \in ..

복소로그에 대해 알아보기 전에, 오일러 공식과 드 무아브르 정리에 대해서 알아보자오일러 공식 $e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$은 복소평면에서 단위원 위의 점을 각 $\theta$로 표현해주는 공식이다. 아마 수학을 공부해봤으면 한 번 즈음은 들어봤을 거라고 생각한다. 양변에 실수 $r$을 곱함으로써 $re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$와 같이 쓰면 실수축 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$이고 크기가 $r$인 복소수를 나타낼 수 있다. 일종의 극좌표계 표현이다.드 무아브르 정리는 단위복소수의 제곱꼴과 각도에 관한 정리다. 간단히 말하자면 단위복소수를 $n$제곱하면 그 편각도 $n$배 된다는 것이다. 간단하게 다음과 ..

$f:D\to\mathbb{R}$을 집합 $D \subset \mathbb{R}$ 위에서 정의된 함수, $a$를 $D$의 극한점, $L \in R$이라 하자.$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=L \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} \forall\epsilon>0,\exists\delta>0 \; \text{s.t.} \; \forall x \in D, (0이때, $a$가 $D$의 극한점이라는 것은 $\forall r>0, ( D \setminus \left\{ a \right\} )\cap (a-r,a+r)\neq\emptyset$임을 의미한다. 대표적인 뇌가 빠지는 정의인 엡실론-델타 논법을 들고 와보았다하나씩 보도록 하자 극한점 조건..