유리함수의 적분에 쓸 수 있는 테크닉들에 대하여

$\displaystyle \int \frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx$의 적분을 수행하는 것을 기준으로 설명한다.

 

나머지 정리

고등학교 1학년에서 배우는 가장 기초적인 수준의 정리를 활용하면 다항식의 나눗셈을 위아래로 길게 전개하지 않아도 수식을 간단히 다항함수와 진유리함수의 합으로 나타낼 수 있다.

$P(x)=A(x)Q(x)+R(x)$ (단, $deg R(x)<deg A(x)$,$deg A(x)+deg Q(x)=deg P(x)$이다.)

위 예시에 대입하면 $ x^4-2x^2+4x+1 =( x^3-x^2-x+1 )Q(x)+R(x)$이므로, 나머지 정리의 성질에 따라서 $Q(x)$와 $R(x)$는 각각 $ax+b$와 $cx^2+dx+e$로 나타내어질 수 있는 일차함수와 이차함수임을 알 수 있다. 이를 미리 대입하면 $ x^4-2x^2+4x+1 =( x^3-x^2-x+1 )( ax+b )+cx^2+dx+e $이다.

이때, 계수의 비교를 통해 미지수를 확정지을 수 있다.

$ \begin{aligned} & (x^4) & 1 &= a \\ & (x^3) & 0 &= b - a \\ & (x^2) & -2 &= -a - b + c \\ & (x) & 4 &= a - b + d \\ & (C) & 1 &= b + e \end{aligned} $

이를 통해 $a=1$, $b=1$, $c=0$, $d=4$, $e=0$을 알 수 있고, 이를 토대로 다시 식을 정리하면 $ x^4-2x^2+4x+1 =( x^3-x^2-x+1 )(x+1)+4x$이다. 양변을 $x^3-x^2-x+1$로 나누면 피적분 함수를 다음과 같이 정리할 수 있다.

$\displaystyle x+1+\frac{4x}{ x^3-x^2-x+1 }=x+1+\frac{4x}{x^2(x-1)+(x-1)}=x+1+\frac{4x}{(x^2-1)(x-1)}=x+1+\frac{4x}{(x-1)^2(x+1)}$

 

헤비사이드 가리개 공식

진유리함수는 다음과 같은 정리를 통해 나타낸다.

진유리 함수는 분모의 각 인수에 다음과 같이 대응되는 부분 분수의 합으로 나타낼 수 있다.
(1) $(ax+b)^k$이 분모의 인수이면, 이 인수에 다음과 같이 $k$개의 부분 함수의 합으로 주어지는 부분 분수가 대응한다($k\ge1,a\neq0$)
\[\displaystyle \frac{\gamma_1}{ax+b}+\frac{\gamma_2}{(ax+b)^2}+\cdots+\frac{\gamma_k}{(ax+b)^k}\]
여기서 $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\cdots$, $\gamma_k$는 상수이다.

(2) $(Ax^2+Bx+C)^m$이 분모의 인수이면, 이 인수에 다음과 같이 $m$개의 부분 함수의 합으로 주어지는 부분 분수가 대응한다($m\ge1,A\neq0,4AC-B^2>0$)
\[\displaystyle \frac{\alpha_1x+\beta_1}{Ax^2+Bx+C}+\frac{\alpha_2x+\beta_2}{(Ax^2+Bx+C)^2}+\cdots+\frac{\alpha_mx+\beta_m}{(Ax^2+bx+C)^m}\]
여기서 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\cdots$, $\alpha_m$과 $\beta_1$, $\beta_2$, $\cdots$, $\beta_m$는 상수이다.

이 정리를 통해 진유리함수를 다음과 같이 부분분수로 전개할 수 있다.

$\displaystyle \frac{4x}{(x^2-1)(x-1)}=\frac{4x}{(x-1)^2(x+1)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1}$

이때 계수 $A$, $B$, $C$를 찾을 때엔 보통 양변에 분모를 곱해 다항식의 계수를 비교하거나, 적당한 값을 대입하지만, 보다 효과적이고 빠르게 특정 인수들의 값을 얻어낼 수 있는 방법으로 헤비사이드 가리개 공식이 있다.

헤비사이드 가리개 공식은 가장 높은 차수의 한 인수와 대응되는 계수, 즉 분모 $(ax+b)^k$와 $(Ax^2+Bx+C)^m$과 대응되는 계수 $\gamma_k$와 $\alpha_m$, $\beta_m$을 구할 수 있는 방법이다. 예시의 경우, 분모 $(x-1)^2$의 계수 $B$와 $x+1$의 계수 $C$를 구하는 데에 쓰일 수 있다.

원리는 간단하다. 분모인 인수를 곱해 대응되는 계수는 제거되지 않게 하고, 다른 항에는 곱해진 인수를 이용해 해당 인수에 대응되는 계수만을 남겨놓는 방법이다.

$\displaystyle A(x-1)+B+\frac{C}{x+1}(x-1)^2=\frac{4x}{x+1}, x=1 \to B=\frac{4}{2}=2$

$\displaystyle \frac{A}{x-1}(x+1)+\frac{B}{(x-1)^2}(x+1)+C=\frac{4x}{(x-1)^2}, x=-1\to C=\frac{-4}{4}=-1$

 

하지만 헤비사이드 가리개 공식으로는 가장 높은 차수보다 낮은 차수의 인수와 대응되는 계수는 구할 수 없다. $B$가 $(x-1)^2$과 대응되는 계수이기에, $x-1$과 대응되는 계수인 $A$는 헤비사이드 가리개 공식으로는 구할 수 없다.

 

무한대 극한

식 $\displaystyle \frac{4x}{(x-1)^2(x+1)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1}$가 항등식임을 이용해, 헤비사이드 가리개 공식으로 구할 수 없던 일부 계수의 값을 구할 수 있다. 양변에 $x$를 곱하고, $x\to\infty$의 극한을 취해주면 A를 다음과 같이 구할 수 있다.

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{4x^2}{(x-1)^2(x+1)} = \lim_{x\to\infty}\left[ \frac{Ax}{x-1}+\frac{Bx}{(x-1)^2}+\frac{Cx}{x+1}\right]=0=A+C,A=-C=1$