완전미분방정식이란?

완전미분방정식은 보통 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 꼴의 미분방정식을 풀기 위해 도입하는 방법으로, $M(x,y)$와 $N(x,y)$를 $x$와 $y$에 대한 어떤 2변수함수 $F(x,y)$의 편미분으로 간주하는, 즉 주어진 미분방정식의 좌변을 $F(x,y)$의 전미분으로 간주하는 것이다. 그렇게 간주함으로써 복잡한 미분방정식을 푸는 것을 $dF=0$의 해를 구하는 것, 즉 $F(x,y)=c$의 해를 구하는 것으로 치환 가능하다.

 

예를 들어 $F(x,y)=x^2+y^2+xy$에 대하여 $F(x,y)$의 값이 변하지 않는 해곡선을 구한다고 할 때, 이를 풀어 쓰면 $\displaystyle dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=(2x+y)dx+(2y+x)dy=0$이다. 거꾸로, $(2x+y)dx+(2y+x)dy=0$이라는 미분 방정식이 주어졌을 때, $dx$와 $dy$의 계수인 $2x+y$와 $2y+x$를 각각 $F$의 $x$와 $y$에 대한 편미분으로 간주하고, 해당 미분 방정식을 $dF=0$, $F(x,y)=C$ 형태의 방정식으로 치환할 수 있는 것이다.

 

그러나 2변수함수에 대한 방정식을 미분하여 미분방정식을 얻을 때와 달리, 미분방정식의 양변을 적분하여 2변수함수에 대한 방정식을 얻을 때에는 적분상수 뿐만 아니라 소거됐을 수 있는 다른 변수의 함수 또한 고려해야 한다. 예를 들어 $(2x+y)dx+(2y+x)dy=0$으로부터 $F(x,y)$를 복원하며 $\displaystyle \int (2x+y)dx$를 수행할 때에는 적분 상수를 고려할 뿐만 아니라 원래 있었을지도 모르는 $y$에 관한 항을 복원하기 위해, $\displaystyle F(x,y)=\int \frac{\partial F}{\partial x}dx= \int (2x+y)dx=x^2+xy+p(y)+C$로 작성한다. $\displaystyle \int(2y+x)dy$ 또한 마찬가지로 $y^2+xy+q(x)+C$로 나타낸다.
$F(x,y)=x^2+xy+p(y)+C=q(x)+xy+y^2+C$이므로, $p(y)=y^2$, $q(x)=x^2$을 구함으로써 $F(x,y)=x^2+xy+y^2+C$를 복원해낼 수 있다. ($F(0,0)=0$ 등의 초기 조건이 주어지면 $C=0$을 확정할 수 있다.)

 

하지만 모든 미분방정식을 완전미분방정식으로 이해할 수는 없다. 전미분으로 나타나지 않는 미분형식도 존재하기 때문이다.
예를 들어 $2xydx+dy=0$에서 $dx$, $dy$의 계수를 각각 $F$의 편미분으로 간주하고 싶어도 $yx^2+p(y)+C$와 $y+q(x)+C$는 하나의 $F$가 될 수 없기에, 이를 전미분으로 간주하고 간단히 정리할 수 없다. (해당 미분방정식의 해는 $ye^{x^2}=C$이다.) 즉, 미분방정식 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$을 완전미분방정식으로 해석하려면 $M(x,y)$와 $N(x,y)$가 하나의 2변수함수의 편미분임을 보장해야 한다. 이를 완전조건 $\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$이 보장한다.

 

완전조건의 유도는 간단하다. $\displaystyle M(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}$, $\displaystyle N(x,y)=\frac{\partial F}{\partial y}$를 만족한다고 하자. 이때 선적분의 개념을 도입하는데, 간단히 하면 $\displaystyle \int dF=\int_{(x_i,y_i)}^{(x,y)} (M(x,y)dx+N(x,y)dy) = \int_{x_i}^x M(t,y_i)dt+\int_{y_i}^y N(x,t)dt=\int_{y_i}^y N(x_i,t)dt+\int_{x_i}^x M(t,y)dt$가 성립한다. $(x_i, y_i)\to(x_i,y)\to(x,y)$의 경로나 $(x_i,y_i)\to(x,y_i)\to(x,y)$ 경로 상의 이동 모두 같은 지점인 $(x,y)$로 도달하고, 그 때 $F$의 값이 일정하다는 것을 다시 서술한 것 뿐이다.

식을 정리하면 $\displaystyle \int_{y_i}^y ( N(x,t)-N(x_i,t) )dt-\int_{x_i}^x (M(t,y)-M(t,y_i))dt =\int_{y_i}^y \left( \int_{x_i}^x \frac{\partial N(s,t)}{\partial x}ds \right)dt-\int_{x_i}^x \left( \int_{y_i}^y \frac{\partial M(t,s)}{\partial y}ds \right)dt=\int_{x_i}^x \int_{y_i}^y \left( \frac{\partial N(s,t)}{\partial x} - \frac{\partial M(t,s)}{\partial y} \right)dsdt=0$

$\displaystyle \iint_R \left( \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} \right)dA=0$

적분 값이 0이 되려면 적분 대상도 0이어야 하므로 $\displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=0$임을 알 수 있고, 이를 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\displaystyle M(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x} \land N(x,y)=\frac{\partial F}{\partial y}\Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial M}{\partial y}$이다. 대우는 $ \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}\neq\frac{\partial M}{\partial y} \Rightarrow M(x,y)\neq\frac{\partial F}{\partial x} \lor N(x,y)\neq\frac{\partial F}{\partial y}$이다.

 

사실 위의 명제에서 볼 수 있듯이, $ \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial M}{\partial y} \Rightarrow M(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x} \land N(x,y)=\frac{\partial F}{\partial y}$는 참이 아니다.

(대충 적분인자에 대한 설명. 미래의 내가 써주겠지...)