대학수학및연습1

수학적 귀납법

$P(n)$을 자연수 $n$에 관한 명제라고 하자. $\forall n\in\mathbb{N}$에 대하여 명제 $P(n)$이 참임을 보일 때엔, $P(1)$이 참인지 확인하고, $P(k)$가 참이라고 가정하였을 때 $P(k+1)$이 참인지 확인한다.

 

위로 유계(bounded above)와 아래로 유계(bounded below), 상계(upper bound)와 하계(lower bound), 유계집합(bounded set), 최소 상계 또는 상한(least upper bound, supremum)과 최대 하계 하한(greatest lower bound, infimum)

 

집합 $A$에 대하여 $A\neq\emptyset, A\subseteq \mathbb{R}$일 때, $\forall a \in A$에 대하여 $a\leq a_u$인 실수 $a_u$가 존재할 때, 집합 $A$를 위로 유계라 하고, $a_u$를 $A$의 상계라 한다.

집합 $A$에 대하여 $A\neq\emptyset, A\subseteq \mathbb{R}$일 때, $\forall a \in A$에 대하여 $a\geq a_l$인 실수 $a_l$가 존재할 때, 집합 $A$를 아래로 유계라 하고, $a_l$를 $A$의 하계라 한다.

집합 $A$가 위로 유계이고 아래로 유계이면 집합 $A$를 유계집합이라 한다.

 

위로 유계인 집합 $A$의 상계 중에서 가장 작은 실수를 A의 최소 상계 또는 상한이라고 한다. 기호로는 $\text{sup}A$와 같이 나타낸다.

아래로 유계인 집합 $A$의 하계 중에서 가장 큰 실수를 A의 최대 하계 또는 하한이라고 한다. 기호로는 $\text{inf}A$와 같이 나타낸다.

 

두 집합 $X$와 $Y$에 대하여, $X\times Y=\{(x,y)|x\in X,y\in Y\}$를 $X$와 $Y$의 곱집합(cartesian product)이라 한다.

 

함수(function)의 정의

$f\subseteq X \times Y$이고 다음 두 조건을 만족할 때, $f$를 집합 $X$에서 집합 $Y$로의 함수라 한다. 기호로는 $f:X\to Y$와 같이 나타내기도 한다.

(1) $\forall x\in X$에 대하여 $(x,y)\in f$를 만족하는 $y\in Y$가 존재할 것

(2) $(x,y)\in f$이고 $(x,z)\in f$이면 $y=z$일 것

간단히 '$\forall x\in X$에 대하여 $(x,y)\in f$를 만족하는 $y\in Y$가 유일하게 존재할 것'으로 정하기도 한다.

집합 $X$를 $f$의 정의역(domain)이라 하고, 집합 $Y$를 $f$의 공역(codomain)이라 한다.

집합 $f(X)=\{ y\in Y|(x,y)\in f\}$$를 $f$의 치역(Range)이라 한다.

함수의 대응 규칙을 나타낼 때에는 $y=f(x)$ 혹은 $f:x\mapsto f(x)$와 같이 서술한다.

 

전사성(surjectivity, onto)과 단사성(injectivity, one-to-one)

전사성이란 함수의 공역과 치역이 같은지에 관한 성질이다. 전사성을 증명할 때에는 $\forall y\in Y$에 대하여 $y=f(x)$를 만족시키는 $x\in X$가 존재함을 보인다.

단사성이란 서로 다른 정의역의 원소는 서로 다른 공역의 원소와 대응되는지에 관한 성질이다. 단사성을 증명할 때에는 서로 다른 정의역의 원소 $x_1, x_2$에 대하여 $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$가 성립함을 보인다.

 

$\epsilon-\delta$ 논법

$\displaystyle \forall\epsilon>0,\exists\delta>0 s.t. 0<|x-a|<\delta\Rightarrow0<|f(x)-L|<\epsilon\Leftrightarrow\lim_{x\to a}f(x)=L$

$\displaystyle \lim_{x\to 2}(3x+1)=7$을 엄밀하게 정의하기 위해서는 $\forall \epsilon>0$에 대하여 $0<|x-2|<\delta\Rightarrow0<|3x+1-7|<\epsilon$을 만족시키는 $\delta$가 존재함을 보인다. $0<|x-2|<\delta\Rightarrow0<3|x-2|<\epsilon$이므로, $0<\delta<\epsilon/3$일 때 조건을 만족한다. $0<\delta<\epsilon/3$으로 $\delta$가 존재하므로, $\displaystyle \lim_{x\to 2}(3x+1)=7$이다.