라플라스 변환에 대하여

 

https://kimjw7815.tistory.com/58

^^^ 먼저 읽고 올것

 

$\displaystyle \mathcal{L} \{ f(x) \} =\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt$

 

푸리에 변환인 $\displaystyle \mathcal{F} \{ f(x) \}=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\xi t}dt$와는 조금의 차이가 있다.

우선 $t$의 정의역의 차이이다. 푸리에 변환의 경우엔 정의역이 $(-\infty,\infty)$였지만, 라플라스 변환의 경우에는 $[0,\infty)$이다.

또한 주파수 범위의 변수도 차이가 있는데, 단순 기호의 차이만 있는 것이 아니다. 라플라스 변환은 함수 $f(x)$를 복소 주파수 범위로 변환시키는 것으로, $s=\sigma+i\omega$로 나타난다. 이는 라플라스 변환을 푸리에 변환과 차별화 시키는 가장 큰 특징으로, 특히 $\sigma$라는 변수가 중요하게 작용하겠다.

 

일반적인 푸리에 변환으로는 분석할 수 없는 함수가 몇몇 있다. 대표적으로 $f(x)=1$이나 $f(x)=x^2$, $f(x)=e^x$ 등이다. 이 함수들의 공통점은 모두 실수 전체에서의 적분이 수렴하지 않는다는 거다. 이런 함수들도 마찬가지로 주파수 영역에서 분석하기 위해, 우리는 라플라스 변환을 사용할 수 있다. 아까 말했듯이, 라플라스 변환은 함수 $f(x)$를 복소 주파수 범위로 변환시키는 것이다.

푸리에 변환에도 $i$가 들어간다고 헷갈리지 말아야 할 것이, 푸리에 변환에서 제시한 $\mathcal{F}$와 $\xi$ 중 복소수인 것은 $\mathcal{F}$ 뿐이다. 실수 $\xi$에 대응하는 복소수 $\mathcal{F}$가 존재하는 것이다. ($f(x)$가 푸리에 변환 가능할 때만)

그러나 라플라스 변환의 경우에는 $\mathcal{L}$과 $s$ 양쪽 모두 복소수이다. 복소수 $s$에 대응하는 복소수 $\mathcal{L}$이 존재하는 것이다.

 

본격적으로 라플라스 변환에 대해 알아보기 전에, $e^x$의 푸리에 변환이 왜 불가능한지, 푸리에 변환의 수렴조건이 무엇인지 엄밀하게 짚고 넘어가보자.

$e^x$에 대한 푸리에 변환 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^t e^{-i\xi t}dt$를 고려해보자. 어차피 $|e^{-i\xi t}|=1$인 진동이므로, 제외하고 본다면 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^t dt$가 먼저 수렴해야할 것이다. 하지만 되지 않는다. 그럼 1차적으로, 함수 $f(x)$가 푸리에 변환이 가능하려면 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(t)dt<\infty$가 성립해야함을 알 수 있다.

 

여기서 특수한 사례를 하나만 더 보자. $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$이다. 여기선 직접 계산하지 않고, $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin t}{t}dt=\pi$, $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{\sin t}{t} \right|dt=+\infty$인 것만 알아두자.

절댓값을 씌우지 않은 것은 $[2n\pi,(2n+1)\pi]$ 구간에서 양의 넓이, $[(2n+1)\pi,(2n+2)\pi]$ 구간에서 음의 넓이가 상쇄되며 수렴한다는 것이 보인다. 그러나 절댓값을 씌우면 모두 양의 넓이로 계산되기 때문에, 적분이 발산한다. 이는 $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$가 $0$ 근처에서 진동하기 때문이다. 이렇게 안정적으로 0으로 수렴하지 않는 경우에도 적분이 발산할 가능성이 있다.

푸리에 변환의 허수부를 생각해보자. $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \sin (\xi x)dx$이다. $\xi=\pm 1$에서도 적분은 발산한다. 이런 사태를 미연에 방지하기 위해, 함수의 적분이 안정적으로 수렴하는지 확인할 수 있도록 우리는 $L^1$ 조건을 고려한다. $L^1$ 조건이란, 푸리에 변환 할 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|dt<\infty$일 것을 보장하라는 것이다. 즉 말하자면, $e^x$는 $L^1$ 조건에 위배되기 때문에 푸리에 변환을 정의할 수 없는 것이다.

라플라스 변환에서는 '감쇠'라는 특수한 요인을 추가하기 때문에 $L^1$ 조건을 이용할 때에도 적분구간을 $[0,\infty)$로 제한한다. 감쇠가 무엇인지 알아보고난 후 다시 얘기해보도록 하자.

 

푸리에 변환이 할 수 없는 것을 라플라스 변환이 할 수 있게끔 만들어주는 요인이 뭔지 이제부터 살펴보자. 가장 중요한 것은 $\sigma$다. 아까 말했듯 $e^x$가 $L^1$ 조건에 위배되기 때문에, 즉 적분이 수렴하지 않기때문에 값을 알 수 없다고 했다. 그렇다면 강제로 적분이 수렴하게끔 만들어주면 어떨까?

$e^x$의 적분이 수렴하려면, $e^x$의 값 자체도 0으로 수렴해야할 것이다. (수열과 수열의 합의 극한 사이의 관계를 떠올려보자.) $e^x$에 $e^{-2x}$나 $e^{-3x}$ 등의 함수를 곱해주면 적분도 안정적으로 수렴할 수 있을 것이다. 이를 $e^{-\sigma x}$라고 두어보자. 그럼 원래 형태는 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^t e^{-\sigma t} e^{-i\omega t} dt$와 같이 써질 것이다. (푸리에 변환과 라플라스 변환을 구분하기 위해 주파수의 기호를 $\xi$와 $\omega$로 다르게 하자.) 인테그랄 내부의 밑을 $e$로 정리해주면 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-(\sigma+i\omega-1)t}dt$이다.

 

$L^1$ 조건에 따라 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} |e^t e^{-\sigma t}|dt$는 수렴해야하므로, $1-\sigma<0$, $1<\sigma$임만 유의하고, 원래 적분을 수행하자. $\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-(\sigma+i\omega-1)t}dt= \left[ -\frac{e^{-(\sigma+i\omega-1)t}}{\sigma+i\omega-1} \right]_0^{\infty}=0-\left( -\frac{1}{\sigma+i\omega-1} \right)=\frac{1}{\sigma+i\omega-1}$

이렇게 원래는 수행할 수 없던 변환을 할 수 있게 된다. 특히 $\sigma\to 1^+ ,\omega\to 0$일 때 결과가 발산하는 것이 눈여겨 볼만한 사항이다. 이를 좀 더 일반적으로 정리해보자. 복소수 $s=\sigma+i\omega$로 두고, $e^{ax}$에 대해 다루어보자.

$\displaystyle \mathcal{L} \{ e^{ax} \} (s)=\int_{0}^{\infty} e^{at} e^{-\sigma t} e^{-i\omega t}dt= \int_{0}^{\infty} e^{at} e^{-(\sigma+i\omega) t}dt= \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}dt = \left[ -\frac{e^{-(s-a)t}}{s-a}\right]_0^{\infty}$

$\displaystyle =0-\left(-\frac{1}{s-a}\right)=\frac{1}{s-a}$

 

$a=0$을 대입하면 상수함수 $1$에 대한 라플라스 변환 $\displaystyle \mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}$임도 어렵지 않게 알 수 있다. 그러나 이 경우, $s$의 범위에 차이가 생기게 된다.

$e^{ax}$에 대한 라플라스 변환이 수렴하기 위해서는, $\displaystyle \int_{0}^{\infty} |e^{-(\sigma-a)t}|dt$가 수렴해야 된다. 즉, $\sigma>a$를 만족해야 한다.

그러나 $1$에 대한 라플라스 변환이 수렴하기 위해서는, $\displaystyle \int_{0}^{\infty} |e^{-\sigma t}|dt$가 수렴, 즉 $\sigma>0$만 만족하기만 하면 된다.

라플라스 변환을 수행하는 함수에 따라 $s$의 범위는 항상 달라질 수 있기 때문에, 미리 적분의 수렴 조건에 유의하는 것이 좋다.

(참고로 $\mathcal{L}\{1\}(s)$의 전개 과정은 $\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-st}dt=\left[ -\frac{e^{-st}}{s}\right]_0^{\infty}=0-\left( -\frac{1}{s} \right)=\frac{1}{s}$이다.)

 

어쨌건, 이런 방식으로 라플라스 변환은 감쇠를 도입하며 적분의 안정적인 수렴을 보장하고, 자연스러운 복소수 영역에서의 주파수를 분석하게 해준다. 라플라스 변환의 본질은 $f(t)e^{-\sigma t}$가 안정적으로 0으로 수렴하는 것을 보장하는 것이다, 보통 $e^{-\sigma t}$의 넓이가 유한하게 수렴하는 $+x$ 방향으로, 즉 $[0,\infty)$에서 이상적분을 수행하는 것도 이에 따른 구간 제한임을 알 수 있다.

특히 라플라스 변환의 결과에도 흥미로운 이야기가 더 있다. $\mathcal{L}\{af+bg\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}$를 만족한다거나, 보통 $\displaystyle \frac{Q(s)}{P(s)}$으로 나타나고, $P(s)=0$인 지점에서 극점이 나타나며, 이를 통해 함수의 성질을 파악할 수 있다거나.

물리학 등의 분야에서는 추가적으로 에너지 보존의 측면에서 $\int \{ f(x) \}^2 dx<\infty$가 만족해야한다는 $L^2$ 조건을 도입하기도 한다. 이 포스팅에서는 다루지 않았지만, 만약 나중에 기회가 된다면 다루어보고 싶다.