푸리에 급수, 푸리에 변환에 대하여

긴말 않고 바로 들어가보자.

 

우리가 어떤 특정한 벡터를 만들어야 한다고 가정해보자. $(4,3)$ 같은 것 말이다.

그리고 우리에게 주어진 건 여러 길이를 가진 무한한 양의 벡터들과 실수들이다. 이 벡터들에 실수를 곱하고 서로 더하고 해서 $(4,3)$을 만드는 것이다. 거의 무한한 방법이 나올 수 있다. $(5,0)+(-3,1)+2(1,1)$, $(-19, \pi)+\pi(\frac{23}{\pi},\frac{3}{\pi}-1)$ 등이 있을 수 있다. 

근데 여기서 가장 간단한 표현은 무엇이 있을까? 보통 $4(1,0)+3(0,1)$일 것이다. 2개만으로 표현되고, 간단명료하며, 직관적이다. 그 누구도 $(-19, \pi)$와 $\pi(\frac{23}{\pi},\frac{3}{\pi}-1)$로 또 다른 벡터를 표현하고 싶진 않을 것이다.

여기서 우리는 $(1,0)$과 $(0,1)$을 직교 기저 벡터라고 부른다. 두 벡터가 이루는 각이 직각이며, 두 벡터만으로 모든 벡터를 표현할 수 있다는 뜻이다.

 

물론 직교하지 않는 벡터로도 다른 벡터를 만들 수 있다. 실제로 $(-19, \pi)$와 $\pi(\frac{23}{\pi},\frac{3}{\pi}-1)$는 기저 벡터에 해당한다. 이 두 벡터에 실수를 곱하고 서로 더해서 모든 벡터를 표현할 수 있다는 뜻이다. 하지만 누가 그러고 싶겠는가? 미친짓이다.

기저 벡터는 다른 벡터를 만들 수 있지만, 좀 편하게 만들기 위해서는 직교성이 중요하게 작용함을 알 수 있다.

 

 

 

이것이 푸리에 급수의 기본적인 핵심 아이디어이다.

기저가 되는 벡터를 더해 모든 벡터를 표현하듯이, 기저가 되는 함수를 더해 모든 함수를 표현한다는 것이다.

(단 여기에는 조건이 붙는다. 그건 추후 푸리에 급수에 대해 다시 얘기할 때 알아보자.)

 

예를 들어 구간 $[-1,1]$에서 내가 $y=e^x$를 다항함수의 합으로 표현한다고 해보자.

다행히도 우리에게는 효과적인 기저 함수들이 있다. 바로 르장드르 다항식이다.

르장드르 다항식은 다음과 같이 나타난다.

$\displaystyle P_n(x)=\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n$

$\displaystyle \int_{-1}^{1} P_n(x)P_m(x)dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{nm}$

르장드르 다항식은 원래 르장드르 미분방정식, 라플라스 방정식 등의 여러 다른 이론에서 등장하고 유도되는 내용이지만, 현재의 맥락에선 위의 성질들만을 참고하고 가도록 하자.

 

위에서 나는 함수에 실수를 곱하고 서로 더해준다고 했다. 특정한 기저에는 각각 다른 실수가 곱해질 수 있다는 뜻이다.

이러한 점을 참고해서 어떠한 함수를 르장드르 다항식의 합으로 나타난다면 다음과 같이 써질 것이다.

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n P_n(x)=a_0P_0(x)+ a_1P_1(x) + a_2P_2(x)+\dots $

이것은 푸리에-르장드르 급수라고 한다. $[-1,1]$에서 다항식 기저인 ${P_n(x)}$로 함수를 급수 형태로 나타낸다는 것이다.

 

그렇다면 각 다항식의 계수 $a_n$은 어떻게 구해야 할까? 여기서 우리가 기저함수를 주로 직교함수로 사용하는 이유가 드러난다. $f(x)$를 나타낸 식의 양변에 $P_n(x)$를 곱하고 $[-1,1]$에서 적분해주면 식은 다음과 같이 정리된다.

$\displaystyle \int_{-1}^{1}P_n(x)f(x)dx=\int_{-1}^{1}P_n(x)\sum_{n=0}^{\infty}a_nP_n(x)dx$

이 때, 우변에서 르장드르 다항식의 직교성을 응용해주면, 급수에서 n항만 남는 것을 알 수 있다.

위에서 보았듯이 $\displaystyle \int_{-1}^{1} P_n(x)P_m(x)dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{nm}$이기 때문이다.

이를 응용하여 정리하면 계수가 다음과 같이 정리됨을 알 수 있다.

$\displaystyle \int_{-1}^{1} P_n(x)f(x)dx=\int_{-1}^{1}a_nP_n^2(x)dx, \, a_n=\frac{ \int_{-1}^{1}P_n(x)f(x)dx }{ \int_{-1}^{1}P_n^2(x)dx }=\frac{2n+1}{2} \int_{-1}^{1}P_n(x)f(x)dx $

 

다시 $y=e^x$로 돌아온다면, 다음과 같이 계수들을 찾아줄 수 있다.

$\displaystyle a_0=\int_{-1}^{1}P_0(x)e^xdx = \frac{e}{2}-\frac{1}{2e}$

$\displaystyle a_1=\int_{-1}^{1}P_1(x)e^xdx = \frac{3}{e}$

$\displaystyle a_2=\int_{-1}^{1}P_2(x)e^xdx = \frac{5}{2}e-\frac{35}{e}$

즉 초월함수를 다음과 같이 다항식으로 근사할 수 있다는 것이다.

$\displaystyle e^x \approx a_0P_0(x)+ a_1P_1(x) + a_2P_2(x) = \left(\frac{e}{2}-\frac{1}{2e}\right) + \frac{3}{e} x+ \left( \frac{5}{2}e-\frac{35}{e} \right) \left(\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}\right)$

이게 정말 말이 되는지 알아보고 싶다면 $x=\ln2$를 대입해보도록 하자.

$e^{\ln2}=2 \approx 2.019147285409547\dots, \, err=0.0191\dots$

 

예시는 $e^x$로 들었지만, 실제로는 $[-1,1]$에서 정의되는 함수라면 어떻게든 이러한 방식으로 표현할 수 있다.

심지어는 미분불가능 한 것도 말이다. 심심할 땐 $|x|$의 푸리에-르장드르 급수 표현의 계수를 구해보자.

 

푸리에 급수로 넘어가기 전에, $a_n$의 해석에 대해 조금만 생각해보자. 다시 짚고 넘어가자면, 르장드르 방정식을 활용한 함수 표현에서 계수는 $\displaystyle a_n=\int_{-1}^{1} f(x) P_n(x) dx$로 서술된다. 만약 본인이 선형대수나 함수공간을 조금 열심히 공부한 사람이라면 이 모습이 그다지 낯설지 않을 것이다. 함수의 내적 또한 $\displaystyle \int f(x) g(x) dx$로 선언되기 때문이다.

벡터의 내적 $\displaystyle \sum a_n b_n$은 두 벡터가 얼마나 유사한지에 대한 척도로 활용되기도 한다. 이는 함수에도 적용되는 말이다. 두 함수의 곱을 더해주면 곧 두 함수의 유사도를 나타낸다는 것이다. 그럼 계수가 왜 유사도를 나타내야 할까? 의미상 그럴 수 밖에 없다.

계수는 르장드르 다항식에 곱해진다. 계수가 곱해진 르장드르 다항식은 서로 더해져 $f(x)$를 표현한다. 만약 $f(x)$가 르장드르 다항식 중 $P_1(x)$와 유사하다면 $a_1$이 클것이고, $P_7(x)$와 유사하지 않다면 $a_7$이 작을것이다. 다른 말로, $a_n$은 유사도로써 이해하여도, 혹은 '성분 크기'로써 이해해도 된다는 것이다. 이러한 이해를 갖고 푸리에 급수로 나아가보자.

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이 중에서도 주기 함수를 다룰 때는 $1, \sin x, \cos x$를 기저로 다루게 된다.

푸리에 급수가 표현 가능한 건 주기함수라는 것에 꼭 명심하자. 마찬가지로 구간을 제한하지 않는 이상 이거로 $(-\infty,\infty)$ 범위의 $e^x$ 같은 건 못한다.

1의 경우에는 상수항, 그 외에는 함수의 변화를 나타내는 데에 쓰일 것임을 쉽게 유추하리라 생각한다.

푸리에 급수는 다음과 같이 나타난다.

$\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx) \right)$

상수항이 저렇게 나타나는 이유는 계수를 구하며 알아보자.

 

우선 $a_n$부터 구해보도록 하자. 양변에 $\cos(nx)$를 곱하고, $[-\pi,\pi]$에서 적분하여보자.

$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx=\int_{-\pi}^{\pi} \left[ \frac{a_0}{2}\cos(nx)+\cos(nx)\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) \right]dx$

여기서 삼각함수의 직교성을 써줄 수 있다.

 

$ \displaystyle \int_{-L}^{L} \cos \bigg( \frac{n \pi x}{L} \bigg) \cos \bigg( \frac{m \pi x}{L} \bigg) dx = \begin{cases} 0 & \text{if } n \ne m \\ L & \text{if } n = m \ne 0 \\ 2L & \text{if } n = m = 0 \end{cases} $

$ \displaystyle \int_{-L}^{L} \sin \bigg( \frac{n \pi x}{L} \bigg) \cos \bigg( \frac{m \pi x}{L} \bigg) dx = 0 $

$L=\pi$를 대입해주면

$ \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \cos (nx) \cos (mx) dx = \begin{cases} 0 & \text{if } n \ne m \\ \pi & \text{if } n = m \ne 0 \\ 2\pi & \text{if } n = m = 0 \end{cases} $

$ \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \sin (nx) \cos (mx) dx = 0 $

 

이 성질을 적용했을 때, 급수에서 남는 것은 $\cos$항, 그 중에서도 n항 밖에 없음을 알 수 있다. 르장드르와 같은 논지다. 그렇게 정리하면 식은 다음과 같다.

$ \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx= \int_{-\pi}^{\pi} a_n\cos^2(nx)dx, \, a_n=\frac{ \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx }{ \int_{-\pi}^{\pi}\cos^2(nx)dx }=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$

여기서 상수항 $\displaystyle \frac{a_0}{2}$의 정체가 드러난다. 함수의 평균은 보통 다음과 같이 쓰인다.

$\displaystyle \bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$

근데 여기서 $\displaystyle a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$로 매우 비슷하게 생겼음을 알 수 있다. 구간의 길이 $2\pi$를 맞춰주기 위해 양변을 나누면, $\displaystyle \frac{a_0}{2}=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx =\bar{f}$임을 알 수 있다.

함수의 평균값을 상수항으로 가지는 것이 적절하기에, $\displaystyle \frac{a_0}{2}$를 상수항으로써 넣어주는 것이다.

 

같은 방식으로 $\sin$항의 계수인 $b_n$도 구해보자. 양변에 $\sin(nx)$를 곱하고 $[-\pi,\pi]$에서 적분해주면

$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx=\int_{-\pi}^{\pi} \left[ \frac{a_0}{2}\sin(nx)+\sin(nx)\sum_{n=1}^{\infty}( a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx) ) \right] dx$

$\displaystyle =\int_{-\pi}^{\pi}b_n\sin^2(nx)dx, \, b_n=\frac{ \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx }{ \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(nx)dx }=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx$

상수항에 $b_0$는 포함되지 않는 이유 또한 여기서 볼 수 있다. $b_0=0$이기 때문이다.

 

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이쯤에서 다시 우리들의 오랜 친구 오일러 공식을 맞이하도록 하자. 푸리에 급수에 있는 삼각함수들을 복소지수 함수로 치환하여보자.

$\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2} + b_n\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i} \right)$

$\displaystyle =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left( \left( \frac{a_n}{2} + \frac{b_n}{2i} \right) e^{inx} + \left( \frac{a_n}{2} - \frac{b_n}{2i} \right) e^{-inx} \right)$

이 때, $\displaystyle \frac{a_n}{2} + \frac{b_n}{2i} $과 $\displaystyle \frac{a_n}{2} - \frac{b_n}{2i} $는 켤레복소수 관계에 있다. $\displaystyle c_n=\frac{a_n}{2} + \frac{b_n}{2i}, \, \overline{c_n}=c_{-n}$라고 가정한다면, $c_0=\frac{a_0}{2}$이므로, 위의 표현식은 이렇게 간단히 표현될 수 있다.

$\displaystyle f(x)=c_0+\sum_{n=1}^{\infty} \left( c_n e^{inx} + c_{-n} e^{-inx} \right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx} = \sum_{n\in\mathbb{Z}}c_ne^{inx}$

$\displaystyle c_n=\frac{a_n}{2}+\frac{b_n}{2i}=\frac{1}{2}(a_n-ib_n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) \left[ \cos(nx)-i\sin(nx) \right]dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx$

이러한 형태를 취하는 이유는 해당 형태가 푸리에 변환으로의 연결이 부드럽게 진행되기 때문이다. 지금까지의 내용이 모두 잘 이해되었다면 위의 복소지수 기반 푸리에 급수 형태를 기본으로 생각하고 진행하여보자.

 

 

여기서 발상의 전환을 한번 해보자. 아까 르장드르 다항식을 통해 함수를 구하고, 정규화를 통해 다른 구간에도 적용시킬 수 있다고 말했다. 이는 주기함수에도 마찬가지이다. 구간이 $[-\pi, \pi]$이고 주기가 $2\pi$인 함수를 잘만 정규화하면 구간이 각각 $[-2\pi,2\pi], \, [-3\pi,3\pi], \, [-4\pi,4\pi]$일 때 주기가 $4\pi, 6\pi, 8\pi$인 함수로도 바꿀 수 있는 셈이다. 그럼 만약, 구간과 주기를 같이 쭈욱 잡아당겨서 실수 전체로 만들어버린다면? 이미 $[-\pi,\pi]$에서 완벽하게 만들어진 함수의 하나 주기만큼을 실수 전체로 확장할 수 있지 않을까?

 

우선 구간을 $[-\pi, \pi]$에서 $[-L,L]$로 다시 생각해주자. 그래야 임의의 양수 $L$에 대하여 볼 수 있을 테니.

만약 머릿속에 떠올리고 있던 함수 $f(x)$의 주기가 $2\pi$라면, 주기가 $2L$인 $\displaystyle f(\frac{\pi x}{L})\to f(x)$를 기준으로 생각하자.

$\displaystyle f(x)=\sum c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x}$

위 식에서, 우리는 $L$을 쭈우욱 늘려줄 거다. 즉 $L\to\infty$이다. 그렇다고 그냥 $\displaystyle e^{i \frac{n\pi}{L}x }\to 1$인 게 아니다. 우리가 구분구적법을 진행하며 $ \displaystyle \frac{1}{n}\to dx, \, \frac{k}{n}\to x$로 두고 $ \displaystyle \sum_{n=1}^n \left( \frac{k}{n} \right)^2 \frac{1}{n} \to \int_0^1 x^2 dx$로 치환해주듯, $ \displaystyle \frac{n\pi}{L}\to \xi, \, \frac{\pi}{L}\to d\xi$로 둘 것이다. 이 때, $c_n$은 다음과 같이 변환된다.

$\displaystyle c_n=\frac{1}{2\pi}\frac{\pi}{L}\int_{-L}^{L} f(x)e^{-i \frac{n\pi}{L} x}dx \to c(\xi)d\xi=\frac{1}{2\pi}d\xi \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\xi x}dx$

이 때, 이를 종합하여 $f(x)$를 다시 쓰게 된다면 다음과 같이 정리된다.

$\displaystyle f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} c(\xi) e^{i\xi x}d\xi$

이는 연속적인 주파수 스펙트럼 $d\xi$에 대하여 삼각함수 $e^{i\xi x}$에 그 가중치인 $c(\xi)$를 곱해준 채 모두 더하면 $f(x)$를 나타낼 수 있다는 뜻이다.

 

이 때, $c(\xi)$의 해석이 중요하다. 아까 $c(\xi)$가 가중치라고 말했다. 연속적인 주파수 중, 해당 주파수 성분이 강할 때 $c(\xi)$도 클 것이기 때문이다. 그렇다면 $c(\xi)$를 분석했을 때 $f(x)$에 포함된 주파수를 해석할 수 있지 않을까? 그런데 우리는 이미 $c(\xi)$를 알고 있다! $\displaystyle c(\xi)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\xi x}dx$이다. 이 함수가 $f(x)$에서 주파수를 뽑아낸다는 소리다.

이것이 푸리에 변환 $\displaystyle \mathcal{F}\{ f(x) \} = \hat{f}(\xi)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\xi x}dx$이다.

그리고 위의 $f(x)$가 푸리에 역변환 $\displaystyle \mathcal{F} ^{-1} \{ \hat{f}(\xi) \}=\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(x)e^{i\xi x}d\xi$이다.

 

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푸리에 변환은 함수에서 주파수를 뽑아내고, 주파수로부터 원 함수를 복원한다는 그 성질 덕분에 여러 분야, 특히 이공계열에서 정말로 많이 사용하게 된다. 특히 어느 분야에서 쓰이는지에 따라 계수, 구간의 처리 등이 바뀌기도 한다.

 

물리학에서는 에너지 보존의 측면에서 다음과 같이 정의되기도 한다.

$\displaystyle \mathcal{F}\{ f(x) \}=\hat{f}(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\xi x}dx$

$\displaystyle \mathcal{F}^{-1}\{ \hat{f}(\xi) \}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)e^{i\xi x}d\xi$

계수가 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$로 정규화 되어있음을 알 수 있다. 이처럼 푸리에 급수와 푸리에 변환은 나타내는 형태나 사용 분야, 방법에 따라서 쉽게 다른 것처럼 보일 수 있으니, 무작정 공식을 암기하고 외우는 것보단, 그것이 왜 그렇게 유도되는지 이해하는 것이 더 바람직할 것이다.

 

이 글은 약간의 비약 (오일러 공식, 이상 적분 등)을 제외한다면 고등학교 교과 과정 내의 내용들(삼각함수의 덧셈공식, 정적분, 무한 급수, 구분구적법, 정적분과 급수의 관계)로 이해할 수 있도록 작성되었으나, 대학에서는 제대로 함수 공간에서의 내적의 개념으로 이해하도록 하자. 또한 이 글에는 이산적인 주파수 대역과 연속적 주파수 스펙트럼의 차이 또한 명확히 드러나있지 않으니, 더 자세하고 명확하게 알아보고 싶다면 또한 대학 교재를 펴보도록 하자.

 

혹은 $e^x$를 푸리에 변환해보려고 한 사람들에게, 아마 안 되었을 것이다. 불가능하기 때문이다.

혹은 푸리에 역변환으로 $e^x$를 만드려고 했거나. 어쨌든 안 되었을 것이다.

물론 어느정도의 구간을 정해놓고 구간 내에서 $e^x$의 주파수 성분을 분석하려면 가능하겠지만, 전체 정의역에서는 푸리에 변환으로 지수함수를 분석할 수 없다. 이유는 적분이 발산하기 때문이다.

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^t e^{-i\xi t}dt$를 고려해보자. 어차피 $|e^{-i\xi t}|=1$인 진동이므로, 제외하고 본다면 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^t dt$가 먼저 수렴해야할 것이다. 하지만 수렴하지 않는다. 이 문제를 해결하기 위해선 적분이 수렴할 수 있도록 하는 무언가가 필요하다. 그것을 우리는 감쇠라고 부른다.

더 자세한 사항은 다음 글에서 확인해보도록 하자. https://kimjw7815.tistory.com/67