미적분학의 기본 정리 FTC

$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)$는 일종의 약속이다.

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx$라는, 넓이를 나타내는 연산을 $F(x)$에 대한 뺄셈 연산으로 정하자는 것이다. 여기까진 문제가 전혀 없다.

그럼 궁금증은 여기서 생긴다. 그 $F(b)-F(a)$는 왜 구간 $[a,b]$에서 $f(x)$와 $x$축 사이의 넓이를 의미하는가? $F(x)$가 대체 무엇이길래 $F'(x)=f(x)$라는 관계가 성립하는 것인가? 이는 약속이 아니라 우리가 증명해야할 것이다.

 

$\displaystyle S(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$라고 가정해보자. 이는 약속에 의해서 전혀 문제될 것이 없는 문장이다. $S(x)$는 실제로 $[a,x]$에서 $f(t)$와 $t$축 사이의 넓이를 의미한다.

이 때, $\displaystyle S(x+\Delta x)-S(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt (\Delta x>0)$가 성립한다. 이는 특정 점 $x$에서 $\Delta x$만큼의 거리까지 구간에서의 넓이를 의미한다. $f(x)$가 발산하지 않는 이상, $S(x+\Delta x)-S(x)$ 또한 발산하지 않는다. 그 말인즉슨 $S(x+\Delta x)-S(x)$가 의미에 따라 특정 대소 관계를 가진다는 것이다.

구간 $[x,x+\Delta x]$ 사이에서 $f(x)$가 발산하지 않는다면 $f(x)$는 최솟값과 최댓값을 가진다. 이 때, 최솟값과 최댓값은 $\Delta x$에 의해 결정되는 일종의 함수라고 볼 수 있다. 이 때, $S(x+\Delta x)-S(x)$는 본질적 의미에 따라 이런 대소관계를 가진다.

$\displaystyle m\Delta x \leq S(x+\Delta x)-S(x) \leq M\Delta x $

$\displaystyle m \leq \frac{ S(x+\Delta x)-S(x) }{\Delta x} \leq M$

 

이 때, 극한의 대소관계에 따라 다음이 성립한다.

$\displaystyle \lim_{\Delta \to 0^+} m \leq \lim_{\Delta \to 0^+} \frac{ S(x+\Delta x)-S(x) }{\Delta x} \leq \lim_{\Delta \to 0^+} M $

$\displaystyle f(x) \leq S'(x) \leq f(x) \to S'(x)=f(x)$

 

이 시점에서 정리는 이미 완료되었다.

정의에 따라 $\displaystyle S(x+\Delta x)-S(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt$은 넓이이다. 이 때 $S'(x)=f(x)$가 만족한다는 것이다. 즉, $S(x)+C=F(x)$이다. $x+\Delta x=b, x=a$로 설정해준다면 $\displaystyle F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{a}^{b}f(x)dx$이다.

만약 누군가가 $\displaystyle \int_{a}^{x}f(t)dt =F(x)-F(a)$이기 때문에 $\displaystyle \frac{d}{dx} \int_{a}^{x}f(t)dt=\frac{d}{dx}\left( F(x)-F(a) \right)=f(x)$라고 주장한다면, 앞으로는 자신있게 '그건 원인과 결과과 뒤바뀐 것'이라고 얘기해보도록 하자.