귀류법으로 해결할 수 있는 흥미로운 문제들에 대하여

- $a^2$이 짝수이면 $a$도 짝수임을 증명하시오.

 

$a^2$이 짝수이고, $a$가 홀수라고 가정해보자. $a=2n+1$($n$은 자연수)일때, $a^2=4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1$으로 $a^2$이 홀수이다. 따라서 가정에 위배되므로, $a^2$이 짝수이면 $a$도 짝수이다.

 

- $\sqrt{2}$가 무리수임을 증명하시오.

 

$\displaystyle \sqrt{2}=\frac{p}{q}$ (단, $p$와 $q$는 서로소가 아닌 자연수)이라고 가정하자. $q\sqrt{2}=p$, $2q^2=p^2$이다.

$p^2$이 짝수이므로, $p$도 짝수이다. $p=2m$으로 가정하면, $2q^2=4m^2, q^2=2m^2$이다. $q^2$이 짝수이므로, $q$도 짝수이다. 이는 $p$와 $q$가 서로소가 아닌 자연수라는 가정에 위배되므로, $\sqrt{2}$는 무리수이다.

 

- $a^2$이 3의 배수이면 $a$도 3의 배수임을 증명하시오.

 

$a^2$이 3의 배수이고, $a$가 3의 배수가 아니라고 가정해보자. $a=3n+1$ 혹은 $a=3n+2$ ($n$은 자연수)일때, $a^2=9n^2+6n+1=3(3n^2+2n)+1$ 혹은 $a^2=9n^2+12n+1=3(3n^2+4n)+1$으로 $a^2$이 3의 배수가 아니다. 따라서 가정에 위배디므로, $a^2$이 3의 배수이면 $a$도 3의 배수이다.

 

- $\sqrt{3}$이 무리수임을 증명하시오.

 

$\displaystyle \sqrt{3}=\frac{p}{q}$ (단, $p$와 $q$는 서로소가 아닌 자연수)이라고 가정하자. $q\sqrt{3}=p$, $3q^2=p^2$이다.

$p^2$이 3의 배수이므로 $p=3m$으로 두자. $3q^2=9m^2, q^2=3m^2$이다. $q^2$이 3의 배수이므로 $q$도 3의 배수이다. 이는 $p$와 $q$가 서로소가 아닌 자연수라는 가정에 위배되므로, $\sqrt{3}$은 무리수이다.

 

- $\tan1°$가 무리수임을 증명하시오.

 

$\tan1° \in \mathbb{Q}$라고 가정하면 $1≤k≤29$인 자연수 k에 대하여 $\tan(k+1)°=\frac{\tan k°+\tan1°}{1-\tan k° \tan1°} \in \mathbb{Q}$이다.

$k=29$일 때, $\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3} \notin \mathbb{Q}$이므로, 모순이다. 따라서 $\tan1° \notin \mathbb{Q}$이다.