개발일기

유리함수의 적분에 쓸 수 있는 테크닉들에 대하여

kimjw7815 — Fri, 29 May 2026 22:09:41 +0900

$\displaystyle \int \frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx$의 적분을 수행하는 것을 기준으로 설명한다.

나머지 정리

고등학교 1학년에서 배우는 가장 기초적인 수준의 정리를 활용하면 다항식의 나눗셈을 위아래로 길게 전개하지 않아도 수식을 간단히 다항함수와 진유리함수의 합으로 나타낼 수 있다.

$P(x)=A(x)Q(x)+R(x)$ (단, $deg R(x)<deg A(x)$,$deg A(x)+deg Q(x)=deg P(x)$이다.)

위 예시에 대입하면 $ x^4-2x^2+4x+1 =( x^3-x^2-x+1 )Q(x)+R(x)$이므로, 나머지 정리의 성질에 따라서 $Q(x)$와 $R(x)$는 각각 $ax+b$와 $cx^2+dx+e$로 나타내어질 수 있는 일차함수와 이차함수임을 알 수 있다. 이를 미리 대입하면 $ x^4-2x^2+4x+1 =( x^3-x^2-x+1 )( ax+b )+cx^2+dx+e $이다.

이때, 계수의 비교를 통해 미지수를 확정지을 수 있다.

$ \begin{aligned} & (x^4) & 1 &= a \\ & (x^3) & 0 &= b - a \\ & (x^2) & -2 &= -a - b + c \\ & (x) & 4 &= a - b + d \\ & (C) & 1 &= b + e \end{aligned} $

이를 통해 $a=1$, $b=1$, $c=0$, $d=4$, $e=0$을 알 수 있고, 이를 토대로 다시 식을 정리하면 $ x^4-2x^2+4x+1 =( x^3-x^2-x+1 )(x+1)+4x$이다. 양변을 $x^3-x^2-x+1$로 나누면 피적분 함수를 다음과 같이 정리할 수 있다.

$\displaystyle x+1+\frac{4x}{ x^3-x^2-x+1 }=x+1+\frac{4x}{x^2(x-1)+(x-1)}=x+1+\frac{4x}{(x^2-1)(x-1)}=x+1+\frac{4x}{(x-1)^2(x+1)}$

헤비사이드 가리개 공식

진유리함수는 다음과 같은 정리를 통해 나타낸다.

진유리 함수는 분모의 각 인수에 다음과 같이 대응되는 부분 분수의 합으로 나타낼 수 있다.
(1) $(ax+b)^k$이 분모의 인수이면, 이 인수에 다음과 같이 $k$개의 부분 함수의 합으로 주어지는 부분 분수가 대응한다($k\ge1,a\neq0$)
\[\displaystyle \frac{\gamma_1}{ax+b}+\frac{\gamma_2}{(ax+b)^2}+\cdots+\frac{\gamma_k}{(ax+b)^k}\]
여기서 $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\cdots$, $\gamma_k$는 상수이다.

(2) $(Ax^2+Bx+C)^m$이 분모의 인수이면, 이 인수에 다음과 같이 $m$개의 부분 함수의 합으로 주어지는 부분 분수가 대응한다($m\ge1,A\neq0,4AC-B^2>0$)
\[\displaystyle \frac{\alpha_1x+\beta_1}{Ax^2+Bx+C}+\frac{\alpha_2x+\beta_2}{(Ax^2+Bx+C)^2}+\cdots+\frac{\alpha_mx+\beta_m}{(Ax^2+bx+C)^m}\]
여기서 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\cdots$, $\alpha_m$과 $\beta_1$, $\beta_2$, $\cdots$, $\beta_m$는 상수이다.

이 정리를 통해 진유리함수를 다음과 같이 부분분수로 전개할 수 있다.

$\displaystyle \frac{4x}{(x^2-1)(x-1)}=\frac{4x}{(x-1)^2(x+1)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1}$

이때 계수 $A$, $B$, $C$를 찾을 때엔 보통 양변에 분모를 곱해 다항식의 계수를 비교하거나, 적당한 값을 대입하지만, 보다 효과적이고 빠르게 특정 인수들의 값을 얻어낼 수 있는 방법으로 헤비사이드 가리개 공식이 있다.

헤비사이드 가리개 공식은 가장 높은 차수의 한 인수와 대응되는 계수, 즉 분모 $(ax+b)^k$와 $(Ax^2+Bx+C)^m$과 대응되는 계수 $\gamma_k$와 $\alpha_m$, $\beta_m$을 구할 수 있는 방법이다. 예시의 경우, 분모 $(x-1)^2$의 계수 $B$와 $x+1$의 계수 $C$를 구하는 데에 쓰일 수 있다.

원리는 간단하다. 분모인 인수를 곱해 대응되는 계수는 제거되지 않게 하고, 다른 항에는 곱해진 인수를 이용해 해당 인수에 대응되는 계수만을 남겨놓는 방법이다.

$\displaystyle A(x-1)+B+\frac{C}{x+1}(x-1)^2=\frac{4x}{x+1}, x=1 \to B=\frac{4}{2}=2$

$\displaystyle \frac{A}{x-1}(x+1)+\frac{B}{(x-1)^2}(x+1)+C=\frac{4x}{(x-1)^2}, x=-1\to C=\frac{-4}{4}=-1$

하지만 헤비사이드 가리개 공식으로는 가장 높은 차수보다 낮은 차수의 인수와 대응되는 계수는 구할 수 없다. $B$가 $(x-1)^2$과 대응되는 계수이기에, $x-1$과 대응되는 계수인 $A$는 헤비사이드 가리개 공식으로는 구할 수 없다.

무한대 극한

식 $\displaystyle \frac{4x}{(x-1)^2(x+1)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1}$가 항등식임을 이용해, 헤비사이드 가리개 공식으로 구할 수 없던 일부 계수의 값을 구할 수 있다. 양변에 $x$를 곱하고, $x\to\infty$의 극한을 취해주면 A를 다음과 같이 구할 수 있다.

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{4x^2}{(x-1)^2(x+1)} = \lim_{x\to\infty}\left[ \frac{Ax}{x-1}+\frac{Bx}{(x-1)^2}+\frac{Cx}{x+1}\right]=0=A+C,A=-C=1$

완전미분방정식이란?

kimjw7815 — Wed, 29 Apr 2026 08:05:27 +0900

완전미분방정식은 보통 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 꼴의 미분방정식을 풀기 위해 도입하는 방법으로, $M(x,y)$와 $N(x,y)$를 $x$와 $y$에 대한 어떤 2변수함수 $F(x,y)$의 편미분으로 간주하는, 즉 주어진 미분방정식의 좌변을 $F(x,y)$의 전미분으로 간주하는 것이다. 그렇게 간주함으로써 복잡한 미분방정식을 푸는 것을 $dF=0$의 해를 구하는 것, 즉 $F(x,y)=c$의 해를 구하는 것으로 치환 가능하다.

예를 들어 $F(x,y)=x^2+y^2+xy$에 대하여 $F(x,y)$의 값이 변하지 않는 해곡선을 구한다고 할 때, 이를 풀어 쓰면 $\displaystyle dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=(2x+y)dx+(2y+x)dy=0$이다. 거꾸로, $(2x+y)dx+(2y+x)dy=0$이라는 미분 방정식이 주어졌을 때, $dx$와 $dy$의 계수인 $2x+y$와 $2y+x$를 각각 $F$의 $x$와 $y$에 대한 편미분으로 간주하고, 해당 미분 방정식을 $dF=0$, $F(x,y)=C$ 형태의 방정식으로 치환할 수 있는 것이다.

그러나 2변수함수에 대한 방정식을 미분하여 미분방정식을 얻을 때와 달리, 미분방정식의 양변을 적분하여 2변수함수에 대한 방정식을 얻을 때에는 적분상수 뿐만 아니라 소거됐을 수 있는 다른 변수의 함수 또한 고려해야 한다. 예를 들어 $(2x+y)dx+(2y+x)dy=0$으로부터 $F(x,y)$를 복원하며 $\displaystyle \int (2x+y)dx$를 수행할 때에는 적분 상수를 고려할 뿐만 아니라 원래 있었을지도 모르는 $y$에 관한 항을 복원하기 위해, $\displaystyle F(x,y)=\int \frac{\partial F}{\partial x}dx= \int (2x+y)dx=x^2+xy+p(y)+C$로 작성한다. $\displaystyle \int(2y+x)dy$ 또한 마찬가지로 $y^2+xy+q(x)+C$로 나타낸다.
$F(x,y)=x^2+xy+p(y)+C=q(x)+xy+y^2+C$이므로, $p(y)=y^2$, $q(x)=x^2$을 구함으로써 $F(x,y)=x^2+xy+y^2+C$를 복원해낼 수 있다. ($F(0,0)=0$ 등의 초기 조건이 주어지면 $C=0$을 확정할 수 있다.)

하지만 모든 미분방정식을 완전미분방정식으로 이해할 수는 없다. 전미분으로 나타나지 않는 미분형식도 존재하기 때문이다.
예를 들어 $2xydx+dy=0$에서 $dx$, $dy$의 계수를 각각 $F$의 편미분으로 간주하고 싶어도 $yx^2+p(y)+C$와 $y+q(x)+C$는 하나의 $F$가 될 수 없기에, 이를 전미분으로 간주하고 간단히 정리할 수 없다. (해당 미분방정식의 해는 $ye^{x^2}=C$이다.) 즉, 미분방정식 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$을 완전미분방정식으로 해석하려면 $M(x,y)$와 $N(x,y)$가 하나의 2변수함수의 편미분임을 보장해야 한다. 이를 완전조건 $\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$이 보장한다.

완전조건의 유도는 간단하다. $\displaystyle M(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}$, $\displaystyle N(x,y)=\frac{\partial F}{\partial y}$를 만족한다고 하자. 이때 선적분의 개념을 도입하는데, 간단히 하면 $\displaystyle \int dF=\int_{(x_i,y_i)}^{(x,y)} (M(x,y)dx+N(x,y)dy) = \int_{x_i}^x M(t,y_i)dt+\int_{y_i}^y N(x,t)dt=\int_{y_i}^y N(x_i,t)dt+\int_{x_i}^x M(t,y)dt$가 성립한다. $(x_i, y_i)\to(x_i,y)\to(x,y)$의 경로나 $(x_i,y_i)\to(x,y_i)\to(x,y)$ 경로 상의 이동 모두 같은 지점인 $(x,y)$로 도달하고, 그 때 $F$의 값이 일정하다는 것을 다시 서술한 것 뿐이다.

식을 정리하면 $\displaystyle \int_{y_i}^y ( N(x,t)-N(x_i,t) )dt-\int_{x_i}^x (M(t,y)-M(t,y_i))dt =\int_{y_i}^y \left( \int_{x_i}^x \frac{\partial N(s,t)}{\partial x}ds \right)dt-\int_{x_i}^x \left( \int_{y_i}^y \frac{\partial M(t,s)}{\partial y}ds \right)dt=\int_{x_i}^x \int_{y_i}^y \left( \frac{\partial N(s,t)}{\partial x} - \frac{\partial M(t,s)}{\partial y} \right)dsdt=0$

$\displaystyle \iint_R \left( \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} \right)dA=0$

적분 값이 0이 되려면 적분 대상도 0이어야 하므로 $\displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=0$임을 알 수 있고, 이를 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\displaystyle M(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x} \land N(x,y)=\frac{\partial F}{\partial y}\Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial M}{\partial y}$이다. 대우는 $ \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}\neq\frac{\partial M}{\partial y} \Rightarrow M(x,y)\neq\frac{\partial F}{\partial x} \lor N(x,y)\neq\frac{\partial F}{\partial y}$이다.

사실 위의 명제에서 볼 수 있듯이, $ \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial M}{\partial y} \Rightarrow M(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x} \land N(x,y)=\frac{\partial F}{\partial y}$는 참이 아니다.

(대충 적분인자에 대한 설명. 미래의 내가 써주겠지...)

이공계 대학수학의 공리 및 정리

kimjw7815 — Tue, 24 Mar 2026 10:35:34 +0900

[공리 1] $\mathbb{R}$의 임의의 원소 $a$와 $b$에 대해 $a$에 $b$를 더하는 것이 가능하고 그의 결과가 $\mathbb{R}$의 원소로 유일하게 나타난다.

이때 더하는 것을 덧셈이라 하고 기호 $+$로 나타내고, 그 결과를 $a+b$로 나타내고 합이라 한다.

[공리 2] $\mathbb{R}$의 임의의 원소 $a$와 $b$에 대해 $a$에 $b$를 곱하는 것이 가능하고 그의 결과가 $\mathbb{R}$의 원소로 유일하게 나타난다.

이때 곱하는 것을 곱셈이라 하고 기호 $\cdot$로 나타내고, 그 결과를 나타내는 실수를 $a\cdot b$ 또는 $ab$로 나타내고 곱이라 한다.

[공리 3] $\mathbb{R}$의 임의의 원소 $a$와 $b$에 대해 다음이 성립한다.

$a+b=b+a$, $ab=ba$

[공리 4] $\mathbb{R}$의 임의의 원소 $a$, $b$, $c$에 대해 다음이 성립한다.

$(a+b)+c=a+(b+c)$, $(ab)c=a(bc)$

[공리 5] $\mathbb{R}$의 임의의 원소 $a$, $b$, $c$에 대해 다음이 성립한다.

$a(b+c)=ab+ac$

[공리 6] $\mathbb{R}$의 모든 원소 $a$에 대해 다음 식을 각각 만족시키는 서로 다른 두 원소 $o$와 $e$가 $\mathbb{R}$에 존재한다.

$a+o=a$, $ae=a$

여기서 실수 $o$를 덧셈에 관한 항등원, 실수 $e$를 곱셈에 관한 항등원이라 한다. 만일 실수 $o_1$, $o_2$가 덧셈에 관한 항등원이라면 $o_1=o_1+o_2=o_2$이 성립하고, $e_1$, $e_2$가 곱셈에 관한 항등원이라면 $e_1=e_1e_2=e_2$가 성립하므로 덧셈과 곱셈에 관해 항등원은 각각 유일하다. 이때 덧셈에 관한 항등원을 $0$으로 나타내고 곱셈에 관한 항등원을 $1$로 내기로 한다. 그러면 공리 6에 의해 당연히 $0\neq1$이다.

[공리 7] $\mathbb{R}$의 각 원소 $a$에 대해 다음을 만족시키는 $\mathbb{R}$의 원소 $x$가 존재한다.

$a+x=0$

여기서 실수 $x$를 $a$의 덧셈에 관한 역원이라 한다. 만일 실수 $x_1$, $x_2$가 $a$의 덧셈에 관한 역원이라면 $x_1=x_1+0=x_1+(a+x_2)=(x_1+a)+x_2=0+x_2=x_2$가 성립하므로, $a$의 덧셈에 관한 역원은 유일하다. 이때 그 유일한 역원을 $-a$로 나타내기로 한다. 특히, 실수 $a$에 실수 $-b$를 더해서 얻은 합 $a+(-b)$를 $a-b$로 나타내기로 한다.

이제 실수 $a$, $b$에 대한 일차 방정식 $x+b=a$의 해 $x$에 대하여 생각해보자. 먼저 실수 $x=a-b$에 대해 $x+b=(a-b)+b=a+(-b)+b=a$이므로 방정식의 해가 존재한다. 한편 실수 $y$가 해이면 등식 $y=y+0=y+b+(-b)=a+(-b)=a-b=x$가 성립한다. 즉 주어진 방정식의 해는 유일하다. 따라서 주어진 일차 방정식 $x+b=a$의 해는 항상 존재하고 유일하다.

[공리 8] $\mathbb{R}$의 $0$이 아닌 각 원소 $a$에 대해 다음을 만족시키는 $x$가 $\mathbb{R}$에 존재한다.

$ax=1$

여기서 $x$를 실수 $a$의 곱셈에 관한 역원이라 한다. 만일 실수 $x_1$, $x_2$가 $a\neq0$의 곱셈에 관한 역원이라면 $x_1=x_11=x_1(ax_2)=(x_1a)x_2=1x_2=x_2$이 성립하므로, $a$의 곱셈에 관한 역원은 유일하다. 이때 그 유일한 역원을 $a^{-1}$ 또는 $\displaystyle \frac{1}{a}$ 또는 $1/a$ 등의 기호를 써서 나타낸다. 특히, 실수 $a$에 실수 $b\neq0$의 곱셈에 간한 역원 $b^{-1}$을 곱해서 얻게 되는 실수(곱)를 $ab^{-1}$ 또는 $\displaystyle \frac{a}{b}$ 또는 $a/b$로 나타낸다.

실수 $a$, $b$에 대한 일차 방정식 $ax=b$의 해에 대하여 생각해보자. 먼저 $a=0$, $b=0$이면 어떠한 실수 $x$에 대해서도 $0x=0$이므로 모든 실수가 주어진 방정식의 해이다. 따라서 이 경우의 해는 무한히 많다. 만일 $a=0$, $b=0$이면 어떠한 실수 $x$에 대해서도 $0x=0$이고 $b\neq0$이므로 어떠한 실수도 해가 될 수 없다. 즉, 이 경우에는 해는 존재하지 않는다. 이제 $a\neq0$인 경우에 실수 $x=a^{-1}b$는 $ax=aa^{-1}b=1\cdot b=b$를 만족시키므로 $x=a^{-1}b$는 주어진 방정식의 해이다. 또 실수 $y$가 해라면, $y=1\cdot y=a^{-1}ay=a^{-1}b=x$가 성립하므로 해는 유일하다. 따라서 실수 $a$가 $0$이 아닌 경우, 또는 곱셈에 대한 역원을 가지는 경우에 일차 방정식 $ax=b$의 해는 항상 존재하고 유일하다.

[공리 9] 양수의 집합이라 부르는 $\mathbb{R}$의 진부분 집합 $\mathbb{R}^+$가 존재해서, $\mathbb{R}^+$의 임의의 두 원소 $a$와 $b$에 대해 다음이 성립한다.

$a+b\in\mathbb{R}^+$, $ab\in\mathbb{R}^+$

[공리 10] $\mathbb{R}$의 $0$이 아닌 임의의 원소 $a$에 대해 다음이 성립한다.

$a\in\mathbb{R}^+$ 또는 $-a\in\mathbb{R}^+$

이때, $-a\in\mathbb{R}^+$인 실수를 음수라고 한다.

[공리 11] $0$은 양수의 집합 $\mathbb{R}^+$에 속하지 않는다.

[공리 12] $\mathbb{R}$의 공집합이 아닌 부분 집합 $A$가 위로 유계이면 $A$의 상한이 $\mathbb{R}$의 원소로 존재한다.

위의 공리 9, 10, 11을 이용해서 실수의 대소와 상등을 다음과 같이 정의한다.

임의의 두 실수 $a$와 $b$에 대해 $b-a\in\mathbb{R}^+$이면, $b$가 $a$보다 크다 또는 $a$가 $b$보다 작다고 하고 $a<b$ 또는 $b>a$와 같이 나타낸다. $b-a=0$이면 $a$와 $b$가 같다고 하고 $a=b$로 나타낸다. 특히 $a>b$이거나 $a=b$일 때, 간단히 $a\geq b$ 혹은 $b\leq a$로 나타낸다. 이러한 기호 약속에 의해 다음이 성립한다.

$a=b\Leftrightarrow a\leq b$이고 $a\geq b$

정리 1.1-1

실수 $a$, $b$에 대하여 다음이 성립한다.
(1) $a0=0$ (2) $(-1)a=-a$ (3) $-(-a)=a$ (4) $(-a)(-b)=ab$

증명 1.1-1

(1) 먼저 공리 6에 의해 $a0+0=a0$이고 공리 7에 의해 일차 방정식 $a0+x=a0$의 해는 유일하므로 $x=0$이다. 그런데 공리 5와 공리 6에 의해 $a0+a0=a(0+0)=a0$이므로 $a0=0$이다.
(2) 정리 1.1-1(1)과 공리 7과 공리 5와 공리 6에 의해 $0=a0=a(1+(-1))=a1+(-1)a=a+(-1)a$이 성립한다. 공리 7에 의해 실수 $a$의 덧셈에 대한 역원은 $-a$로 유일하므로 $(-1)a=-a$이다.
(3) 공리 7에 의해 $-a+(-(-a))=0$이고 일차 방정식 $-a+x=0$의 해는 유일하므로 $x=-(-a)$이다. 그런데 공리 3에 의해 일차 방정식 $-a+x=0$은 $x+(-a)=0$이고 공리 7에 의해 $a$의 유일한 덧셈에 관한 역원이 $-a$이므로 $x=a$이다. 공리 7에 의해 일차 방정식의 해는 유일하므로 $a=-(-a)$이다.
(4) 정리 1.1-1(2)과 공리 3과 공리 4에 의해 $(-a)(-b)=((-1)a)((-1)b)=(((-1)a)(-1))b=((-1)(a(-1)))b=((-1)((-1)a))b=$
$(-1)((-1)a)b=(-1)(-1)(ab)=(-1)(-1)ab=-(-1)ab$이다. 정리 1.1-1(3)에 의해 $-(-1)=1$이므로 $(-a)(-b)=1ab$이다. 공리 3과 공리 6에 의해 $1ab=ab1=ab$이므로 $(-a)(-b)=ab$이다.

정리 1.1-2

$0$이 아닌 실수의 제곱은 양수이다. 즉, $a\cdot a=a^2>0$, $a\neq0$이다.

증명 1.1-2

실수 $a$가 $0$이 아니라면 공리 10에 의하여 $a>0$이거나 $-a>0$이다. 그러면 공리 9에 의해 $aa=a^2>0$이거나 $(-a)(-a)>0$이다. 그런데 정리 1.1-1(4)에 의하여 $(-a)(-a)=aa=a^2>0$이다.

정리 1.1-3

집합 $S=\{x\in\mathbb{Q}|x^2<2,x>0\}$의 상한(존재하며) $u$는 $u^2=2$인 실수이며, 유리수가 아니다.

증명 1.1-3

실수 $1$은 유리수이고 $1=1^2<2$이므로 $1\in\mathbb{S}$, 즉 집합 $S$는 공집합이 아니다. 또 $2$는 집합 $S$의 상계이다. ($\because$ 만일 $2<a$인 $a\in\mathbb{S}$가 있다면, 즉 $2$가 집합 $S$의 상계가 아니라면 $a^2>4>2$이므로 $a\notin S$가 되어 모순이다.) 따라서 실수 집합의 완비성에 의하여 집합 $S$의 최소 상계(상한)인 실수가 존재한다. 그 상한을 $u$라 하자.
이제 $u^2=2$임을 증명하기 위해 $u^2<2$, $u^2>2$가 성립하지 않음을 귀류법으로 증명한다.
(1) u^2<2라 하자. 이때 실수 $2-u^2>0$와 $2u+1$을 생각하자. 아르키메디스의 성질을 실수 $\displaystyle \frac{2u+1}{2-u^2}$에 적용하면 $\displaystyle \frac{2u+1}{2-u^2}<n$인 자연수 $n$이 존재한다. 따라서 다음 부등식을 얻는다.
$\displaystyle 2-u^2>\frac{2u+1}{n}=2\frac{u}{n}+\frac{1}{n}>2\frac{u}{n}+\frac{1}{n^2}$
이로부터 $\displaystyle (u+\frac{1}{n})^2<2$이다. 그런데 $\displaystyle u<u+\frac{1}{n}$이고 $u$가 집합 $S$의 최소 상계이므로 $\displaystyle u+\frac{1}{n}$도 집합 $S$의 상계이어야 하므로 $\displaystyle (u+\frac{1}{n})^2\geq2$이다. 따라서 $\displaystyle (u+\frac{1}{n})^2<2$이고 $\displaystyle (u+\frac{1}{n})^2\geq2$이다. 이는 모순이므로 $u^2<2$은 거짓이다.
(2) u^2>2라 하자. 이때 실수 $u^2-2>0$와 $2u$를 생각하자. 아르키메디스의 성질을 실수 $\displaystyle \frac{2u}{u^2-2}$에 적용하면 $\displaystyle \frac{2u}{u^2-2}<m$인 자연수 $m$이 존재한다. 따라서 다음 부등식을 얻는다.
$\displaystyle u^2-2>\frac{2u}{m}=2\frac{u}{m}>2\frac{u}{m}-\frac{1}{m^2}$
이로부터 $\displaystyle (u-\frac{1}{m})^2>2$이 성립하므로 $\displaystyle u-\frac{1}{m}<u$인 $\displaystyle u-\frac{1}{m}$가 집합 $S$의 상계가 된다. 이는 $u$가 $S$의 최소 상계라는 사실에 모순이 된다. 따라서 $u^2>2$은 거짓이다.
그러므로 (1)과 (2)에 의해 $u^2=2$이다. $\displaystyle \frac{1}{n}$, $\displaystyle \frac{1}{m}$을 $0<r<1$인 실수 $r$으로도 생각해볼 수 있다.

$u$가 유리수가 아님은 귀류법을 통해 증명한다.
자연수 $a$에 대하여 $a^2$이 짝수이면 $a$도 짝수임을 증명한다.
$a^2$이 짝수이고, $a$가 홀수라고 가정해보자. $a=2n+1$($n$은 자연수)일때, $a^2=4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1$으로 $a^2$이 홀수이다. 따라서 가정에 위배되므로, $a^2$이 짝수이면 $a$도 짝수이다.
$u$가 $\displaystyle u=\frac{p}{q}$ (단, $q$는 0이 아니고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수)라 하자. $q\neq0$이므로 $qu=p$이고 $q^2u^2=p^2$이다. 이때, $u^2=2$이므로 $2q^2=p^2$이다. $2$로 나누어 떨어지므로 $p^2$이 짝수이고, $p^2$이 짝수이므로 $p$도 짝수 $p=2n(n\in\mathbb{Z})$로 나타낼 수 있다. $2q^2=p^2=(2n)^2=4n^2$이므로 $q^2=2n^2$이다. $2$로 나누어 떨어지므로 $q^2$이 짝수이고, $q^2$이 짝수이므로 $q$도 짝수 $q=2m(m\in\mathbb{Z})$로 나타낼 수 있다. $p$와 $q$가 공통인수 $2$를 가지고 있으므로 서로소라는 조건에 모순이다. 따라서 $u$는 유리수가 아니다.

정리 1.1-4

서로 다른 두 실수 사이에 유리수가 존재한다.

증명 1.1-4

$a<b$인 실수 $a$, $b$를 가정하자. 아르키메데스의 성질에 따라 $\displaystyle \frac{1}{b-a}<n$인 자연수 $n$이 존재한다.
(1) $a>0$인 경우, 아르키메데스의 성질에 따라 $M>an$인 자연수 $M$이 존재한다. $M>an$인 자연수 $M$들 중 가장 작은 자연수를 $m$이라고 하면 $m>an$, $m-1<an$이 성립한다. $\displaystyle a<\frac{m}{n}<a+\frac{1}{n}$인데, $\displaystyle \frac{1}{n}<b-a$이므로 $\displaystyle a<\frac{m}{n}<a+(b-a)=b$가 성립한다. 따라서 $a$와 $b$ 사이에 유리수인 $\displaystyle \frac{m}{n}$이 존재한다.
(2) $a=0$인 경우, $\displaystyle 0=a<\frac{1}{n}<b$이므로 $a$와 $b$ 사이에 유리수인 $\displaystyle \frac{m}{n}$이 존재한다.
(3) $a<0$인 경우, 아르키메데스의 성질에 따라 $|a|<k$인 자연수 $k$가 존재하고, $M>(a+k)n$인 자연수 $M$이 존재한다. $M>an$인 자연수 $M$들 중 가장 작은 자연수를 $m$이라고 하면 $m>(a+k)n$, $m-1<(a+k)n$이 성립한다. $\displaystyle a+k<\frac{m}{n}<a+k+\frac{1}{n}$인데, $\displaystyle \frac{1}{n}<b-a$이므로 $\displaystyle a+k<\frac{m}{n}<a+k+(b-a)=b+k$가 성립한다. 곧, $\displaystyle a<\frac{m}{n}-k<b$가 성립한다. 따라서 $a$와 $b$ 사이에 유리수인 $\displaystyle \frac{m}{n}-k$가 존재한다.
따라서 서로 다른 두 실수 사이에 유리수가 존재한다.

정리 1.1-5

다음 두 명제는 동치이다.
(1) $a=0$
(2) 임의의 양수 $\epsilon>0$에 대해 $0\leq|a|<\epsilon$이다.

증명 1.1-5

(1)$\Rightarrow$(2) $a=0$이면 $|a|=0$이고 정의에 의해 모든 양수는 $0$보다 크므로 (2)가 성립한다.
(2)$\Rightarrow$(1) 명제 (2)가 참일 때 명제 (1)이 거짓이라 가정하자. 이때 $a\neq0$이므로 $|a|>0$이다. 아르키메데스의 성질에 의해 $\displaystyle n>\frac{1}{|a|}$, 즉 $\displaystyle |a|>\frac{1}{n}>0$인 자연수 $n$이 존재한다. 이는 임의의 양수가 $|a|$보다 커야한다는 가정인 명제 (2)에 모순이므로, 명제 (2)가 참일 때 명제 (1)은 참이다.

아르키메데스의 성질

각각의 실수 $a$에 대해 $a<n$인 자연수 $n$이 존재한다.

아르키메데스의 성질 증명

만약 어떤 실수 $a$보다 큰 자연수 $n$이 존재하지 않으면 $a$는 집합 $\mathbb{N}$의 상계이다. 따라서 실수의 완비성에 관한 공리 12에 의해 $\mathbb{N}$의 상한 $\alpha\in\mathbb{R}$이 존재한다. 그런데 $\alpha-1<\alpha$이므로 $\alpha-1$은 $\mathbb{N}$의 상계가 아니다.그러므로 $\alpha-1$보다 큰 $m\in\mathbb{N}$이 존재한다. 곧, $\alpha-1<m$이므로 $\alpha<m+1$이고 $m+1\in\mathbb{N}$이다. 이것은 $\alpha$가 $\mathbb{N}$의 상계라는 가정에 모순이다. 따라서 $a$보다 큰 자연수 $n$이 존재한다.

실수 전체의 집합의 정의에 관한 여러가지 접근에 대하여

kimjw7815 — Sun, 15 Mar 2026 02:14:14 +0900

이하 내용은 필자가 실수 전체의 집합의 정의에 관해 개인적으로 탐구한 내용을 정리한 것일 뿐 수학적 엄밀성을 보장하지 않습니다.

1. 데데킨트 절단

데데킨트 절단은 코시 유리수 수열과 함께 유리수 체계로부터 실수 체계로의 확장을 가장 잘 대표하는 논리 중 하나이다.

유리수 전체의 집합 $\mathbb{Q}$를 분할한 두 부분집합 $A$와 $A^C$가 존재하고, 아래의 조건들을 만족한다고 하자.

1. $A\neq\emptyset$

2. $A\neq\mathbb{Q}$

3. $\forall x,y\in\mathbb{Q},(y>x\wedge y\in A)\Rightarrow x\in A$

4. $\forall x\in A,\exists y\in A, y>x$

3번 조건과 4번 조건의 차이점을 자세히 알아보자.

3번 조건은 $A$의 원소인 $y$가 존재하면 $y$보다 작은 모든 유리수들이 $A$의 원소임을 강제하는 조건이다. 즉, 집합 $A$에 대한 하계가 존재하지 않는다.

4번 조건은 $A$의 임의의 원소보다 큰 원소가 항상 적어도 한 개 이상은 존재한다는 조건이다. 어떤 원소를 임의로 지정하여도 그보다 큰 원소가 한 개 이상은 존재하므로, $A$에는 최댓값이 존재하지 않는다. 이를 보기 간단히 시각화하면 집합 $A$와 $A^C$는 다음과 같이 나타나게 된다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_cut#/media/File:Dedekind_cut_at_square_root_of_two.svg

좀 더 직관적으로 접근하자면, $A$와 $A^C$는 임의의 기점으로 분리된 두 유리수 집합이다. 그 기점은 임의로 존재할 수 있다.

유리수에서의 절단에 대하여 해당 유리수를 $A^C$의 원소로 한다. 이 경우, $A$의 원소보다 항상 큰 $A^C$의 원소가 존재하므로, $A$에 상계가 존재하지 않는 것은 아니다. 따라서 $A$는 위로 유계이고, $A$의 최소 상계는 절단 기점이 되는 유리수로 존재한다.

그러나 기점이 $Q$의 원소로써 존재하지 않는 경우도 있기에 이 점에 주의한다. 여전히 $A$는 위로 유계이지만, $A^C$에 최솟값이 존재하지 않기 때문에 $A$의 최소 상계는 유리수 범위에서 존재하지 않는다.

우리는 그 기점을 데데킨트 절단이라 부르고, $(A,A^C)$로 표시한다. 그리고 데데킨트 절단을 실수로 정의한다.

예를 들어 데데킨트 절단 $(\{x|x<0\text{ or }0\leq x^2<2\}, \{x|x<0\text{ or }0\leq x^2<2\}^C)$를 생각해보자. $A$는 $\emptyset$이 아니고, $\mathbb{Q}$가 아니다. $A$의 원소인 임의의 유리수 $q$를 제시해도 그보다 작은 모든 유리수는 항상 $A$의 원소이므로, $A$에 대한 하계가 존재하지 않는다. $A$의 원소인 임의의 유리수 $q$를 선택해도 $q<x$인 $A$의 원소 $x$를 제시할 수 있다. 따라서 $A$에는 최댓값이 존재하지 않는다. 이는 데데킨트 절단의 정의에 잘 부합하므로, 이 절단을 실수 $\sqrt{2}$로 정의한다.

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kimjw7815 — Sat, 14 Mar 2026 00:41:47 +0900

$\displaystyle \frac{x(3x+b)+c}{x}=\frac{x(3x+b)}{x}+\frac{c}{x}=3x+b+\frac{c}{x}$

대학수학및연습1

kimjw7815 — Wed, 4 Mar 2026 19:38:51 +0900

수학적 귀납법

$P(n)$을 자연수 $n$에 관한 명제라고 하자. $\forall n\in\mathbb{N}$에 대하여 명제 $P(n)$이 참임을 보일 때엔, $P(1)$이 참인지 확인하고, $P(k)$가 참이라고 가정하였을 때 $P(k+1)$이 참인지 확인한다.

위로 유계(bounded above)와 아래로 유계(bounded below), 상계(upper bound)와 하계(lower bound), 유계집합(bounded set), 최소 상계 또는 상한(least upper bound, supremum)과 최대 하계 하한(greatest lower bound, infimum)

집합 $A$에 대하여 $A\neq\emptyset, A\subseteq \mathbb{R}$일 때, $\forall a \in A$에 대하여 $a\leq a_u$인 실수 $a_u$가 존재할 때, 집합 $A$를 위로 유계라 하고, $a_u$를 $A$의 상계라 한다.

집합 $A$에 대하여 $A\neq\emptyset, A\subseteq \mathbb{R}$일 때, $\forall a \in A$에 대하여 $a\geq a_l$인 실수 $a_l$가 존재할 때, 집합 $A$를 아래로 유계라 하고, $a_l$를 $A$의 하계라 한다.

집합 $A$가 위로 유계이고 아래로 유계이면 집합 $A$를 유계집합이라 한다.

위로 유계인 집합 $A$의 상계 중에서 가장 작은 실수를 A의 최소 상계 또는 상한이라고 한다. 기호로는 $\text{sup}A$와 같이 나타낸다.

아래로 유계인 집합 $A$의 하계 중에서 가장 큰 실수를 A의 최대 하계 또는 하한이라고 한다. 기호로는 $\text{inf}A$와 같이 나타낸다.

두 집합 $X$와 $Y$에 대하여, $X\times Y=\{(x,y)|x\in X,y\in Y\}$를 $X$와 $Y$의 곱집합(cartesian product)이라 한다.

함수(function)의 정의

$f\subseteq X \times Y$이고 다음 두 조건을 만족할 때, $f$를 집합 $X$에서 집합 $Y$로의 함수라 한다. 기호로는 $f:X\to Y$와 같이 나타내기도 한다.

(1) $\forall x\in X$에 대하여 $(x,y)\in f$를 만족하는 $y\in Y$가 존재할 것

(2) $(x,y)\in f$이고 $(x,z)\in f$이면 $y=z$일 것

간단히 '$\forall x\in X$에 대하여 $(x,y)\in f$를 만족하는 $y\in Y$가 유일하게 존재할 것'으로 정하기도 한다.

집합 $X$를 $f$의 정의역(domain)이라 하고, 집합 $Y$를 $f$의 공역(codomain)이라 한다.

집합 $f(X)=\{ y\in Y|(x,y)\in f\}$$를 $f$의 치역(Range)이라 한다.

함수의 대응 규칙을 나타낼 때에는 $y=f(x)$ 혹은 $f:x\mapsto f(x)$와 같이 서술한다.

전사성(surjectivity, onto)과 단사성(injectivity, one-to-one)

전사성이란 함수의 공역과 치역이 같은지에 관한 성질이다. 전사성을 증명할 때에는 $\forall y\in Y$에 대하여 $y=f(x)$를 만족시키는 $x\in X$가 존재함을 보인다.

단사성이란 서로 다른 정의역의 원소는 서로 다른 공역의 원소와 대응되는지에 관한 성질이다. 단사성을 증명할 때에는 서로 다른 정의역의 원소 $x_1, x_2$에 대하여 $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$가 성립함을 보인다.

$\epsilon-\delta$ 논법

$\displaystyle \forall\epsilon>0,\exists\delta>0 s.t. 0<|x-a|<\delta\Rightarrow0<|f(x)-L|<\epsilon\Leftrightarrow\lim_{x\to a}f(x)=L$

$\displaystyle \lim_{x\to 2}(3x+1)=7$을 엄밀하게 정의하기 위해서는 $\forall \epsilon>0$에 대하여 $0<|x-2|<\delta\Rightarrow0<|3x+1-7|<\epsilon$을 만족시키는 $\delta$가 존재함을 보인다. $0<|x-2|<\delta\Rightarrow0<3|x-2|<\epsilon$이므로, $0<\delta<\epsilon/3$일 때 조건을 만족한다. $0<\delta<\epsilon/3$으로 $\delta$가 존재하므로, $\displaystyle \lim_{x\to 2}(3x+1)=7$이다.

복소로그와 주값과 다가값

kimjw7815 — Thu, 1 Jan 2026 00:07:36 +0900

복소로그에 대해 알아보기 전에, 오일러 공식과 드 무아브르 정리에 대해서 알아보자

오일러 공식 $e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$은 복소평면에서 단위원 위의 점을 각 $\theta$로 표현해주는 공식이다. 아마 수학을 공부해봤으면 한 번 즈음은 들어봤을 거라고 생각한다. 양변에 실수 $r$을 곱함으로써 $re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$와 같이 쓰면 실수축 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$이고 크기가 $r$인 복소수를 나타낼 수 있다. 일종의 극좌표계 표현이다.

드 무아브르 정리는 단위복소수의 제곱꼴과 각도에 관한 정리다. 간단히 말하자면 단위복소수를 $n$제곱하면 그 편각도 $n$배 된다는 것이다. 간단하게 다음과 같이 정리하여 알 수 있다.

$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=(e^{i\theta})^n=e^{i n\theta}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$

복소로그란, 복소수 범위에 대해서도 정의되는 로그 함수를 말한다. 복소로그는 주값로그와 다가로그로 나뉜다.

$\displaystyle \text{Log} (z) = \ln|z|+i\text{Arg} (z)$

$\displaystyle \text{log} (z)=\ln|z|+i\text{arg} (z)$

$\text{arg}(z)=\text{Arg}(z)+2\pi k (k\in\mathbb{Z})$

대문자로 시작하는 $\text{Log}(z)$와 $\text{Arg}(z)$는 각각 주값로그, 주편각으로, 소문자로 시작하는 $\text{log}(z)$와 $\text{arg}(z)$는 다가로그, 편각으로 불린다.

주값과 다가값이란 복소해석학의 용어이다.

원점과 $(\sqrt{3},1)$을 지나는 선분의 모습을 떠올려보자. 우리는 보통 이 선분이 $x$축과 이루는 각을 $30^{\circ}$라고 부르지만, 실제로는 $x$축과 $(30+360)^{\circ}$의 각도를 이루도록 정의된 선분일 수도 있다. 우리가 보기에는 별 차이는 없지만, 이 각도에 특정한 연산, 예를 들어 각도를 $2$로 나눈다면 결과는 $15^{\circ}$, $195^{\circ}$, 천차만별로 달라지게 된다.

이런 일은 복소해석학에서도 일어난다. 같은 복소수를 나타내는 $e^{i\pi}$와 $e^{7i\pi}$를 $\displaystyle \frac{1}{7}$제곱하면 각각 $\displaystyle e^{i\frac{\pi}{7}}$, $e^{i\pi}$로 전혀 다른 수를 나타내게 된다.
이러한 혼란을 미연에 방지하기 위해, 같은 값도 여러가지 표현을 가질 수 있다는 걸 상정하여 쓰는 것이 다가값, 그 중에서도 대표적인 표현만을 골라 쓰는 것이 주값이다.

다음 방정식을 풀어보자.

$(-1)^x=1$

$\text{log} (-1)^x = |(-1)^x|+i\text{arg} (-1)^x=|(-1)^x|+i(\text{Arg} (-1)^x+2\pi k)=1+i((1+2s)\pi+2\pi k)$

수학자 지들끼리만 말하는 방법을 이해해보자

kimjw7815 — Wed, 3 Dec 2025 22:25:15 +0900

$f:D\to\mathbb{R}$을 집합 $D \subset \mathbb{R}$ 위에서 정의된 함수, $a$를 $D$의 극한점, $L \in R$이라 하자.

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=L \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} \forall\epsilon>0,\exists\delta>0 \; \text{s.t.} \; \forall x \in D, (0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$

이때, $a$가 $D$의 극한점이라는 것은 $\forall r>0, ( D \setminus \left\{ a \right\} )\cap (a-r,a+r)\neq\emptyset$임을 의미한다.

대표적인 뇌가 빠지는 정의인 엡실론-델타 논법을 들고 와보았다

하나씩 보도록 하자

극한점 조건과 $\forall$에 대하여

$D \subset \mathbb{R}$은 $D$가 실수 집합의 부분집합임을 의미한다, 단 $D$는 $a$를 극한점으로 가져야만 한다

이게 무슨 소리냐면 $a$가 $D$의 원소이건 아니건, $a$의 '근처'에 단 하나 이상의 값이라도 있어야한다는 뜻이다

단, 근처라는 말의 의미는 정확하게 짚고 넘어가야 한다, 세가지 예시를 보자
$A=\left\{ 1,2,3,4 \right\}$와 $\displaystyle B=\left\{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\cdots \right\}$와 유리수 집합 $\mathbb{Q}$다.

$A$에 대하여서는 극한점 $a$가 존재할 수 없다, $A \setminus \left\{ a \right\} \cap (a-r,a+r)$이 $\emptyset$이 되게 하는 $r$이 있기 때문이다

가령 $a=5$라고 해보자. $\left\{ 1,2,3,4 \right\} \cap (5-r,5+r) \neq \emptyset$이려면, 즉 두 집합 사이에 중복되는 값이 있으려면 $r>1$을 만족해야만 한다. 그러나 조건에서 요구하는 것은 $\forall r>0$, 즉 모든 양의 실수다. $r=0.5$와 같이 조건을 만족하지 않는 모순이 발생하게 하는 $r$이 있으므로, $5$가 극한점이라는 가정은 틀렸음을 알 수 있다. 다른 어떤 수를 가정해도, 그것은 $A$에 대한 극한점이 될 순 없다.

$B$에 대하여서는 딱 한개의 극한점 $0$이 존재한다. $A \setminus \left\{ 0 \right\} \cap (-r,r)$이 항상 $\emptyset$이 아니기 때문이다.

즉 $B$에는 0 '근처'에 단 하나 이상이라도 값이 존재한다. '근처'의 범위인 $r$을 얼마나 크게 키우고, 줄이던간에, $0$ '근처'의 영역과 $B$는 항상 겹치는 원소를 가질 것이다.

$\mathbb{Q}$에 대하여서는 모든 실수가 극한점이 된다. 어느 실수를 잡고 그 '근처'의 범위를 늘리고 줄여도, 그 '근처'의 영역과 $Q$ 또한 항상 겹치는 원소를 가질 것이다.

이를 좀 더 확대해석 하자면, $A$는 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$가 정의될 수 없는 공간이고, $B$는 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$가 정의되는 $a$가 $0$뿐인 공간이고, $\mathbb{Q}$는 모든 점에서 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$가 정의되는 공간이란 것을 알 수 있다.

또한 조건 자체를 간단히 재서술하자면, 극한점 조건은 극한을 다룰 점인 $a$에 대하여, $D$ 위의 국소적 영역 $(a-r,a+r)$에서의 조밀함을 보장하는 조건이다. $a$ '근처'의 값을 다루는 것이 극한인 만큼, $a$ '근처'가 다루기 쉬운 영역임을 미리 전제하는 것이다.

사실 극한점을 판별하는 문제의 논지 자체는 어딘가 익숙할텐데, 이는 우리가 이미 이러한 방식의 논리 전개를 배워봤기 때문이다.

공통 수학에서는 " '모든 실수가 유리수이다'라는 문장은 거짓인지 참인지, '어느 실수가 유리수이다'라는 문장은 거짓인지 참인지 판별하시오"와 같은 문제를 많이 접했을 것이다. 주로 '모든'과 '어느'의 수학적 해석을 글과 논리로 해석해야하는 문제다.

당연히 전자는 거짓이다. 모든 실수가 유리수라고 하기에는 $\pi$나 $e$와 같은 무리수가 모순을 불러일으키기 때문이다.

극한점 조건도 마찬가지이다. 모든 $r$이 이하의 조건을 만족한다고 하기에는 모순을 불러일으키는 $r$이 존재할 수 있다. 따라서 가정한 $a$가 극한점이라는 것은 거짓이다.

이것을 수학적인 기호와 수식의 세계로 끌어들이는 것이 $\forall$과 같은 기호이다. 이를 이해하면 수학적인 문장을 이해하는 것이 전혀 두려워지지 않을 것이다.

$\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}$와 $\text{s.t.}$

라플라스 변환에 대하여

kimjw7815 — Thu, 16 Oct 2025 13:47:34 +0900

https://kimjw7815.tistory.com/58

^^^ 먼저 읽고 올것

$\displaystyle \mathcal{L} \{ f(x) \} =\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt$

푸리에 변환인 $\displaystyle \mathcal{F} \{ f(x) \}=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\xi t}dt$와는 조금의 차이가 있다.

우선 $t$의 정의역의 차이이다. 푸리에 변환의 경우엔 정의역이 $(-\infty,\infty)$였지만, 라플라스 변환의 경우에는 $[0,\infty)$이다.

또한 주파수 범위의 변수도 차이가 있는데, 단순 기호의 차이만 있는 것이 아니다. 라플라스 변환은 함수 $f(x)$를 복소 주파수 범위로 변환시키는 것으로, $s=\sigma+i\omega$로 나타난다. 이는 라플라스 변환을 푸리에 변환과 차별화 시키는 가장 큰 특징으로, 특히 $\sigma$라는 변수가 중요하게 작용하겠다.

일반적인 푸리에 변환으로는 분석할 수 없는 함수가 몇몇 있다. 대표적으로 $f(x)=1$이나 $f(x)=x^2$, $f(x)=e^x$ 등이다. 이 함수들의 공통점은 모두 실수 전체에서의 적분이 수렴하지 않는다는 거다. 이런 함수들도 마찬가지로 주파수 영역에서 분석하기 위해, 우리는 라플라스 변환을 사용할 수 있다. 아까 말했듯이, 라플라스 변환은 함수 $f(x)$를 복소 주파수 범위로 변환시키는 것이다.

푸리에 변환에도 $i$가 들어간다고 헷갈리지 말아야 할 것이, 푸리에 변환에서 제시한 $\mathcal{F}$와 $\xi$ 중 복소수인 것은 $\mathcal{F}$ 뿐이다. 실수 $\xi$에 대응하는 복소수 $\mathcal{F}$가 존재하는 것이다. ($f(x)$가 푸리에 변환 가능할 때만)

그러나 라플라스 변환의 경우에는 $\mathcal{L}$과 $s$ 양쪽 모두 복소수이다. 복소수 $s$에 대응하는 복소수 $\mathcal{L}$이 존재하는 것이다.

본격적으로 라플라스 변환에 대해 알아보기 전에, $e^x$의 푸리에 변환이 왜 불가능한지, 푸리에 변환의 수렴조건이 무엇인지 엄밀하게 짚고 넘어가보자.

$e^x$에 대한 푸리에 변환 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^t e^{-i\xi t}dt$를 고려해보자. 어차피 $|e^{-i\xi t}|=1$인 진동이므로, 제외하고 본다면 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^t dt$가 먼저 수렴해야할 것이다. 하지만 되지 않는다. 그럼 1차적으로, 함수 $f(x)$가 푸리에 변환이 가능하려면 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(t)dt<\infty$가 성립해야함을 알 수 있다.

여기서 특수한 사례를 하나만 더 보자. $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$이다. 여기선 직접 계산하지 않고, $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin t}{t}dt=\pi$, $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{\sin t}{t} \right|dt=+\infty$인 것만 알아두자.

절댓값을 씌우지 않은 것은 $[2n\pi,(2n+1)\pi]$ 구간에서 양의 넓이, $[(2n+1)\pi,(2n+2)\pi]$ 구간에서 음의 넓이가 상쇄되며 수렴한다는 것이 보인다. 그러나 절댓값을 씌우면 모두 양의 넓이로 계산되기 때문에, 적분이 발산한다. 이는 $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$가 $0$ 근처에서 진동하기 때문이다. 이렇게 안정적으로 0으로 수렴하지 않는 경우에도 적분이 발산할 가능성이 있다.

푸리에 변환의 허수부를 생각해보자. $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \sin (\xi x)dx$이다. $\xi=\pm 1$에서도 적분은 발산한다. 이런 사태를 미연에 방지하기 위해, 함수의 적분이 안정적으로 수렴하는지 확인할 수 있도록 우리는 $L^1$ 조건을 고려한다. $L^1$ 조건이란, 푸리에 변환 할 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|dt<\infty$일 것을 보장하라는 것이다. 즉 말하자면, $e^x$는 $L^1$ 조건에 위배되기 때문에 푸리에 변환을 정의할 수 없는 것이다.

라플라스 변환에서는 '감쇠'라는 특수한 요인을 추가하기 때문에 $L^1$ 조건을 이용할 때에도 적분구간을 $[0,\infty)$로 제한한다. 감쇠가 무엇인지 알아보고난 후 다시 얘기해보도록 하자.

푸리에 변환이 할 수 없는 것을 라플라스 변환이 할 수 있게끔 만들어주는 요인이 뭔지 이제부터 살펴보자. 가장 중요한 것은 $\sigma$다. 아까 말했듯 $e^x$가 $L^1$ 조건에 위배되기 때문에, 즉 적분이 수렴하지 않기때문에 값을 알 수 없다고 했다. 그렇다면 강제로 적분이 수렴하게끔 만들어주면 어떨까?

$e^x$의 적분이 수렴하려면, $e^x$의 값 자체도 0으로 수렴해야할 것이다. (수열과 수열의 합의 극한 사이의 관계를 떠올려보자.) $e^x$에 $e^{-2x}$나 $e^{-3x}$ 등의 함수를 곱해주면 적분도 안정적으로 수렴할 수 있을 것이다. 이를 $e^{-\sigma x}$라고 두어보자. 그럼 원래 형태는 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^t e^{-\sigma t} e^{-i\omega t} dt$와 같이 써질 것이다. (푸리에 변환과 라플라스 변환을 구분하기 위해 주파수의 기호를 $\xi$와 $\omega$로 다르게 하자.) 인테그랄 내부의 밑을 $e$로 정리해주면 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-(\sigma+i\omega-1)t}dt$이다.

$L^1$ 조건에 따라 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} |e^t e^{-\sigma t}|dt$는 수렴해야하므로, $1-\sigma<0$, $1<\sigma$임만 유의하고, 원래 적분을 수행하자. $\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-(\sigma+i\omega-1)t}dt= \left[ -\frac{e^{-(\sigma+i\omega-1)t}}{\sigma+i\omega-1} \right]_0^{\infty}=0-\left( -\frac{1}{\sigma+i\omega-1} \right)=\frac{1}{\sigma+i\omega-1}$

이렇게 원래는 수행할 수 없던 변환을 할 수 있게 된다. 특히 $\sigma\to 1^+ ,\omega\to 0$일 때 결과가 발산하는 것이 눈여겨 볼만한 사항이다. 이를 좀 더 일반적으로 정리해보자. 복소수 $s=\sigma+i\omega$로 두고, $e^{ax}$에 대해 다루어보자.

$\displaystyle \mathcal{L} \{ e^{ax} \} (s)=\int_{0}^{\infty} e^{at} e^{-\sigma t} e^{-i\omega t}dt= \int_{0}^{\infty} e^{at} e^{-(\sigma+i\omega) t}dt= \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}dt = \left[ -\frac{e^{-(s-a)t}}{s-a}\right]_0^{\infty}$

$\displaystyle =0-\left(-\frac{1}{s-a}\right)=\frac{1}{s-a}$

$a=0$을 대입하면 상수함수 $1$에 대한 라플라스 변환 $\displaystyle \mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}$임도 어렵지 않게 알 수 있다. 그러나 이 경우, $s$의 범위에 차이가 생기게 된다.

$e^{ax}$에 대한 라플라스 변환이 수렴하기 위해서는, $\displaystyle \int_{0}^{\infty} |e^{-(\sigma-a)t}|dt$가 수렴해야 된다. 즉, $\sigma>a$를 만족해야 한다.

그러나 $1$에 대한 라플라스 변환이 수렴하기 위해서는, $\displaystyle \int_{0}^{\infty} |e^{-\sigma t}|dt$가 수렴, 즉 $\sigma>0$만 만족하기만 하면 된다.

라플라스 변환을 수행하는 함수에 따라 $s$의 범위는 항상 달라질 수 있기 때문에, 미리 적분의 수렴 조건에 유의하는 것이 좋다.

(참고로 $\mathcal{L}\{1\}(s)$의 전개 과정은 $\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-st}dt=\left[ -\frac{e^{-st}}{s}\right]_0^{\infty}=0-\left( -\frac{1}{s} \right)=\frac{1}{s}$이다.)

어쨌건, 이런 방식으로 라플라스 변환은 감쇠를 도입하며 적분의 안정적인 수렴을 보장하고, 자연스러운 복소수 영역에서의 주파수를 분석하게 해준다. 라플라스 변환의 본질은 $f(t)e^{-\sigma t}$가 안정적으로 0으로 수렴하는 것을 보장하는 것이다, 보통 $e^{-\sigma t}$의 넓이가 유한하게 수렴하는 $+x$ 방향으로, 즉 $[0,\infty)$에서 이상적분을 수행하는 것도 이에 따른 구간 제한임을 알 수 있다.

특히 라플라스 변환의 결과에도 흥미로운 이야기가 더 있다. $\mathcal{L}\{af+bg\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}$를 만족한다거나, 보통 $\displaystyle \frac{Q(s)}{P(s)}$으로 나타나고, $P(s)=0$인 지점에서 극점이 나타나며, 이를 통해 함수의 성질을 파악할 수 있다거나.

물리학 등의 분야에서는 추가적으로 에너지 보존의 측면에서 $\int \{ f(x) \}^2 dx<\infty$가 만족해야한다는 $L^2$ 조건을 도입하기도 한다. 이 포스팅에서는 다루지 않았지만, 만약 나중에 기회가 된다면 다루어보고 싶다.

로런츠 인자와 로렌츠 변환에 대하여

kimjw7815 — Fri, 12 Sep 2025 10:58:02 +0900

로런츠 인자 $\gamma$란 상대성 이론에서 사용되는 무차원 인자다.

$\displaystyle \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2} }$

로런츠 인자는 상대성 이론에서 시간 지연이나 길이 수축 등을 설명하는 데에 매우 많이 사용되는 대표적인 인자이지만, 로런츠 인자를 논하기 전에 동시성의 상대성에 대해 논하는 것이 바람직하다.

동시성의 상대성이란, '서로 공간적으로 떨어진 두 사건이 한 관찰자에게는 동시에 일어난 것처럼 보이더라도, 다른 관찰자에게는 동시에 일어나지 않을 수 있다는 특수 상대성 이론의 핵심 개념'이다.

간단한 사례를 통해 보도록 하자. 지면과 $y$축에 평행한 기준선 $p,q,r$에 대해 정지한 관측자 $A$와 관측자 $A$에 대하여 광속에 가까운 일정한 속도 $v$로 운동하고 있는 관측자 B가 있다.

A의 관성계에서, $p$와 $r$, $r$과 $q$ 사이의 거리는 $x_0$로 일정하고, $p$와 $q$에서 발생한 빛이 진행한다.

$A$의 관성계에서는 두 빛이 동시에 $r$에 도달하고, 반사되어 각각 $p$와 $q$에 동시에 도달하게 된다. 이것이 우리들의 일반적인 직관에 해당한다.

그러나 광속에 가까운 속도로 운동하는 $B$의 관성계에서는 약간 달라진다.

$A$의 관점에서 동시에 발생하는 사건은 '$p$와 $q$에서 빛이 발생함', '빛이 $r$에 동시에 도달함', '반사된 빛이 $p$와 $q$에 도달함'이다. 그러나 $B$의 관점에서 동시에 발생하는 사건은 '빛이 $r$에 동시에 도달함' 뿐이다.

$A$가 보기엔 동시에 $p$와 $q$에서 빛이 발생하고, 동시에 $p$와 $q$에 도달하지만, $B$가 보기엔 $p$와 $q$에서 시간의 텀을 두고 빛이 발생하고, 다른 시각에 $p$와 $q$에 도달한다는 것이다.

이러한 현상을 잘 설명하는 것이 '동시성의 상대성'이다. 하나의 관성계에서 서로 다른 장소에서 동시에 발생한 일은 다른 관성게에서도 동시에 발생한 것이라고 단정지을 수 없고, 오직 같은 장소에서 동시에 발생한 일만 다른 관성계에서의 동시성이 보장된다. 그리고 이를 더 자세히 설명하고 직관적으로, 수치적으로 이해할 수 있도록 해주는 것이 시간 지연과 길이 수축이다. 지금부터 그 둘에 대해 알아보자.

지면에 대해 정지해있는 관찰자 $A$에 대하여 우주선이 $+x$ 방향으로 일정한 속력 $v$로 움직인다.

우주선에는 관찰자 $B$가 타고있고, 관찰자 $B$에 대하여 우주선과 우주선의 점 $p$, 점 $q$는 정지해있고, 두 점을 지나는 직선은 $y$축에 평행하다.

관찰자 $B$에 대하여 점 $p$에서 빛이 나와 점 $q$에서 반사하고, 점 $p$로 돌아온다.

관찰자 $A$가 관측한 우주선의 길이는 $L$이고, 관찰자 $B$가 관측한 점 $p$와 점 $q$ 사이의 길이는 $d$이다.

관찰자 $B$가 관측한 빛이 왕복운동한 거리는 $2d$이고, 빛이 운동한 시간은 $\displaystyle \frac{2d}{c}$이다. 이때, $\displaystyle \frac{2d}{c}=2t_0$라고 두자.

하지만 관찰자 $A$의 시점에서 빛은 다른 경로를 지난다.

관찰자 $A$의 시점에서 빛이 최초로 발생한 후 반사된 점을 $q'$으로, 이후 다시 닿은 우주선의 점을 $p''$라고 두고, 운동한 시간을 $2t$라고 두자. 이때, 피타고라스 정리에 따르면 $d^2 + (vt)^2 = (ct)^2$이 성립한다. 이를 $t^2$에 대해 정리하면 $\displaystyle t^2=\frac{d^2}{c^2-v^2}=\frac{d^2}{c^2} \frac{1}{1- \left( \frac{v}{c} \right)^2} $이다. $\displaystyle t_0=\frac{d}{c}$이므로, 이를 정리하면 $\displaystyle t= \frac{t_0}{\sqrt{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2}}$이다. 이를 로런츠 인자를 통해 정리하면 $t = \gamma t_0$로 정리된다.

$1-\left( \frac{v}{c} \right)^2 < 1$이므로, 그 제곱근의 역수인 $\gamma$는 $1$보다 크다는 것을 알 수 있다. 즉, 우주선에 대하여 정지한 $B$가 관측한 운동시간 $t_0$가 우주선에 대하여 정지하지 않은 $A$가 관측한 운동시간 $t$보다 더 작다($t>t_0$)는 것이다. 그리고 이를 시간 지연 현상이라고 부른다.

이번에는 점 $p$와 $q$를 지나는 직선이 $x$축에 평행인 경우에 대하여 생각하고, 다른 현상을 도출해보자. 이때, $B$가 관측한 두 점 사이의 거리는 $L_0$로 두자.

마찬가지로 이번에도 빛의 운동경로에 대하여 정지해있는 관측자 $B$에 대하여 $\displaystyle t_0 = \frac{2L_0}{c}$로 두자.

이때도 관측자 $A$와 관측자 $B$가 관측하는 빛의 운동 경로는 약간 다르다.

$A$의 시점에서 관측한 $p$와 $q$ 사이의 거리를 $L$으로 두고, 최초로 빛이 발생한 위치를 $p$, 빛이 반사한 위치를 $q$, 빛이 되돌아와서 우주선에 부딪힌 위치를 $p''$이라 하자. (단, $p''$과 $q'$ 사이의 거리는 $L$이 아니다.)

빛이 $p$에서 $q'$으로, $q'$에서 $p''$으로 운동하며 걸린 시간을 각각 $t_f$, $t_b$로 둔다면 다음이 성립한다.

$\displaystyle ct_f=L+vt_f, ct_b=L-vt_b, t_f=\frac{L}{c-v}, t_b=\frac{L}{c+v}, t_f+t_b=\frac{L}{c-v}+\frac{L}{c+v}=\frac{2cL}{c^2-v^2}=\frac{2L}{c} \frac{1}{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}$

이때, $t_f+t_b=\gamma t_0$이고, $\displaystyle t_0 = \frac{2L_0}{c}$이므로, 다음과 같이 정리할 수 있다.

$\displaystyle \gamma \frac{2L_0}{c} = \gamma^2 \frac{2L}{c}, L_0 = \gamma L$

즉 우주선에 대하여 정지한 관측자 $B$가 관측한 두 점 사이의 거리 $L_0$가 우주선에 대하여 정지하지 않은 관측자 $A$가 관측한 두 점 사이의 거리 $L$보다 더 크다($L_0>L$)는 것이다. 이것을 길이 수축 현상이라고 부른다.

지금까지 이는 빛시계를 이용한 증명법이었고, 더 근본적이고 일반적으로 상대성 이론을 기술하기 위해서는 로런츠 변환을 논하게 된다. 로런츠 변환은 다음과 같이 기술된다.

$\displaystyle x'=\gamma(x-vt)$, $t'=\gamma(t-\frac{vx}{c^2})$, $\gamma=\frac{1}{ \sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2} }$

로런츠 변환식은 시공간의 균질성과 등방성을 기반으로 유도된다.

갈릴레이 변환을 알아보는 것부터 시작하자.

서로 다른 관성계 $S$, $S'$를 가정하자. $S'$가 $S$에 대하여 $v$의 속도로 $+x$방향으로 운동할 때, $S$와 $S'$에서의 위치와 시간을 각각 $x$, $t$, $x'$, $t'$이라고 하면, 각각의 위치와 시간 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

$x'=x-vt$, $t'=t$

$A(0,0)$, $B(t,0)$, $P(10,0)$, $P'(vt,0)$을 예시로 들어 이해해보자.

$A$가 본 $P$의 위치는 $x=10$이다. $B$가 본 $P$의 위치는 $x'=10-t$이다. $t=5$일때, $A$가 본 $P$의 위치는 $x=10$이고, $B$가 본 $P$의 위치는 $x'=5$이다.

$A$가 본 $P'$의 위치는 $x=vt$이다. $B$가 본 $P'$의 위치는 $x'=vt-t=(v-1)t$이다. $t=5$일때, $A$가 본 $P'$의 위치는 $x=5v$이고, $B$가 본 $P'$의 위치는 $x'=5(v-1)$이다.

그러나 이와 같은 변환은 광속 불변 법칙에 위배된다. 이번엔 $A(0,0)$, $B(vt,0)$, $C(ct,0)$을 가정해보자.

$A$가 본 $C$의 위치는 $x=ct$이다. $B$가 본 $C$의 위치는 $x'=ct-vt=(c-v)t$이다. 이상하다. 어떤 관성계에서 보아도 빛의 속도는 $c$로 일정해야하는데, $B$가 관측한 빛의 속도는 $c-v$다. 갈릴레이 변환은 이러한 방식으로 광속불변성을 보장하지 않기 때문에, 우리는 광속불변을 보장하는 새로운 변환을 찾아내야만 한다.

로런츠 변환을 설명하기 전에, 시공간의 균질성과 등방성, 그리고 시공간 간격에 대해 간략하게만 알고 넘어가자.

시공간의 균질성이란 '시공간의 어느 점에서도 물리법칙은 같다'는 가정이다. 예컨대 어제 뉴욕에선 땅에 떨어진 사과가 내일 서울에선 하늘로 솟아오르진 않는단말이다. 이러한 이유로 $x'$과 $t'$의 변환식은 $x$와 $t$에 대해 선형적이다. 선형적이지 않으면 물리법칙이 같지 않기 때문이다.

시공간의 등방성이란 '모든 방향에서 물리법칙은 같다'는 가정이다. 빛으로 따지자면 빛의 방향이 동서남북 무엇이더라도 광속은 일정하다는 것이다.

로런츠 변환은 이런 이유로 위치와 시간에 대한 선형 변환과 빛의 등방성을 통해 상대성 이론을 설명한다.

로런츠 변환에서의 로런츠 인자를 결정짓기 위해 우리는 시공간 간격에 대해서도 논하게 되는데, 지금은 단지 $s^2=(ct)^2-x^2$이라는 양이 관성계나 변환에 관계없이 일정한 크기를 가진다는 것만 알아두자.

$x'=\gamma(x-vt)$, $t'=At+Bx$라고 가정해보자. 이때 $\gamma$, $A$, $B$는 값을 알지 못하는 미정계수이다.

$S$계에서 $+x$방향으로 운동하는 빛을 관측($x=ct$)한다고 하면, $S'$계에서 빛의 운동은 $x'=\gamma(ct-vt)=\gamma(c-v)t=c(At+Bct)$, $\gamma(c-v)=c(A+Bc)$이다. 반대로 $S$계에서 $-x$방향으로 운동하는 빛을 관측($x=-ct$)한다고 하면, $S'$계에서 빛의 운동은 $x'=\gamma(-ct-vt)=-\gamma(c+v)t=-c(At-Bct)$, $\gamma(c+v)=c(A-Bc)$이다.

두 수식을 연립하여보자. 두 수식을 더하면 $\gamma(c-v)+\gamma(c+v)=c(A+Bc)+c(A-Bc)=2Ac=2\gamma c$, $A=\gamma$

두 수식을 빼면 $\displaystyle \gamma(c-v)-\gamma(c+v)=c(A+Bc)-c(A-Bc)=-2\gamma v=2Bc^2$, $B=-\frac{\gamma v}{c^2}$이다.

이를 다시 쓰면 $\displaystyle x'=\gamma(x-vt)$, $\displaystyle t'=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right)$이다.

이에 시공간 간격이 같다는 것을 수식적으로 써보면, $\displaystyle s^2=(ct)^2-x^2=(ct')^2-x'^2=c^2\gamma^2 \left(t-\frac{vx}{c^2}\right)^2 -\gamma^2(x-vt)^2=\gamma^2 \left\{ \left(ct-\frac{vx}{c}\right)^2 - (x-vt)^2 \right\}$

$\displaystyle =\gamma^2 \left\{ (ct)^2-2vtx+\left(\frac{vx}{c}\right)^2 - x^2+2vtx-(vt)^2 \right\}=\gamma^2\left( (ct)^2-x^2 +\left(\frac{vx}{c}\right)^2-(vt)^2 \right)$

이를 $\gamma^2$에 대해 정리하면

$\displaystyle \gamma^2=\frac{ (ct)^2-x^2 }{ (ct)^2-x^2 +\left(\frac{vx}{c}\right)^2-(vt)^2 } = \frac{1}{1+\frac{ (\frac{vx}{c})^2-(vt)^2 }{ (ct)^2-x^2 }}=\frac{1}{1+(\frac{v}{c})^2 \frac{x^2-(ct)^2}{(ct)^2-x^2}}=\frac{1}{1-(\frac{v}{c})^2}$

양변에 제곱근을 취하면 $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$이다.

이는 어디까지나 고등학생 수준에서 이해할 수 있을 정도로만 작성된 포스트이다.

글의 전개 과정에서도 광속불변조건, 시공간 간격 불변량, $t'$변환식의 형태 등의 요소는 자세한 설명을 하지 않고 차용하기만 했으니, 시간이 남아돌면 제대로 처음부터 차근차근 알아보도록 하자.