로런츠 인자와 로렌츠 변환에 대하여

로런츠 인자 $\gamma$란 상대성 이론에서 사용되는 무차원 인자다.

$\displaystyle \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2} }$

 

로런츠 인자는 상대성 이론에서 시간 지연이나 길이 수축 등을 설명하는 데에 매우 많이 사용되는 대표적인 인자이지만, 로런츠 인자를 논하기 전에 동시성의 상대성에 대해 논하는 것이 바람직하다.

동시성의 상대성이란, '서로 공간적으로 떨어진 두 사건이 한 관찰자에게는 동시에 일어난 것처럼 보이더라도, 다른 관찰자에게는 동시에 일어나지 않을 수 있다는 특수 상대성 이론의 핵심 개념'이다.

간단한 사례를 통해 보도록 하자. 지면과 $y$축에 평행한 기준선 $p,q,r$에 대해 정지한 관측자 $A$와 관측자 $A$에 대하여 광속에 가까운 일정한 속도 $v$로 운동하고 있는 관측자 B가 있다.

A의 관성계에서, $p$와 $r$, $r$과 $q$ 사이의 거리는 $x_0$로 일정하고, $p$와 $q$에서 발생한 빛이 진행한다.

 

$A$의 관성계에서는 두 빛이 동시에 $r$에 도달하고, 반사되어 각각 $p$와 $q$에 동시에 도달하게 된다. 이것이 우리들의 일반적인 직관에 해당한다.

그러나 광속에 가까운 속도로 운동하는 $B$의 관성계에서는 약간 달라진다.

$A$의 관점에서 동시에 발생하는 사건은 '$p$와 $q$에서 빛이 발생함', '빛이 $r$에 동시에 도달함', '반사된 빛이 $p$와 $q$에 도달함'이다. 그러나 $B$의 관점에서 동시에 발생하는 사건은 '빛이 $r$에 동시에 도달함' 뿐이다.

$A$가 보기엔 동시에 $p$와 $q$에서 빛이 발생하고, 동시에 $p$와  $q$에 도달하지만, $B$가 보기엔 $p$와 $q$에서 시간의 텀을 두고 빛이 발생하고, 다른 시각에 $p$와 $q$에 도달한다는 것이다.

 

이러한 현상을 잘 설명하는 것이 '동시성의 상대성'이다. 하나의 관성계에서 서로 다른 장소에서 동시에 발생한 일은 다른 관성게에서도 동시에 발생한 것이라고 단정지을 수 없고, 오직 같은 장소에서 동시에 발생한 일만 다른 관성계에서의 동시성이 보장된다. 그리고 이를 더 자세히 설명하고 직관적으로, 수치적으로 이해할 수 있도록 해주는 것이 시간 지연과 길이 수축이다. 지금부터 그 둘에 대해 알아보자.

지면에 대해 정지해있는 관찰자 $A$에 대하여 우주선이 $+x$ 방향으로 일정한 속력 $v$로 움직인다.

우주선에는 관찰자 $B$가 타고있고, 관찰자 $B$에 대하여 우주선과 우주선의 점 $p$, 점 $q$는 정지해있고, 두 점을 지나는 직선은 $y$축에 평행하다.

관찰자 $B$에 대하여 점 $p$에서 빛이 나와 점 $q$에서 반사하고, 점 $p$로 돌아온다.

관찰자 $A$가 관측한 우주선의 길이는 $L$이고, 관찰자 $B$가 관측한 점 $p$와 점 $q$ 사이의 길이는 $d$이다.

 

관찰자 $B$가 관측한 빛이 왕복운동한 거리는 $2d$이고, 빛이 운동한 시간은 $\displaystyle \frac{2d}{c}$이다. 이때, $\displaystyle \frac{2d}{c}=2t_0$라고 두자.

하지만 관찰자 $A$의 시점에서 빛은 다른 경로를 지난다.

관찰자 $A$의 시점에서 빛이 최초로 발생한 후 반사된 점을 $q'$으로, 이후 다시 닿은 우주선의 점을 $p''$라고 두고, 운동한 시간을 $2t$라고 두자. 이때, 피타고라스 정리에 따르면 $d^2 + (vt)^2 = (ct)^2$이 성립한다. 이를 $t^2$에 대해 정리하면 $\displaystyle t^2=\frac{d^2}{c^2-v^2}=\frac{d^2}{c^2} \frac{1}{1- \left( \frac{v}{c} \right)^2} $이다. $\displaystyle t_0=\frac{d}{c}$이므로, 이를 정리하면 $\displaystyle t= \frac{t_0}{\sqrt{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2}}$이다. 이를 로런츠 인자를 통해 정리하면 $t = \gamma t_0$로 정리된다.

$1-\left( \frac{v}{c} \right)^2 < 1$이므로, 그 제곱근의 역수인 $\gamma$는 $1$보다 크다는 것을 알 수 있다. 즉, 우주선에 대하여 정지한 $B$가 관측한 운동시간 $t_0$가 우주선에 대하여 정지하지 않은 $A$가 관측한 운동시간 $t$보다 더 작다($t>t_0$)는 것이다. 그리고 이를 시간 지연 현상이라고 부른다.

 

이번에는 점 $p$와 $q$를 지나는 직선이 $x$축에 평행인 경우에 대하여 생각하고, 다른 현상을 도출해보자. 이때, $B$가 관측한 두 점 사이의 거리는 $L_0$로 두자.

마찬가지로 이번에도 빛의 운동경로에 대하여 정지해있는 관측자 $B$에 대하여 $\displaystyle t_0 = \frac{2L_0}{c}$로 두자.

이때도 관측자 $A$와 관측자 $B$가 관측하는 빛의 운동 경로는 약간 다르다.

$A$의 시점에서 관측한 $p$와 $q$ 사이의 거리를 $L$으로 두고, 최초로 빛이 발생한 위치를 $p$, 빛이 반사한 위치를 $q$, 빛이 되돌아와서 우주선에 부딪힌 위치를 $p''$이라 하자. (단, $p''$과 $q'$ 사이의 거리는 $L$이 아니다.)

빛이 $p$에서 $q'$으로, $q'$에서 $p''$으로 운동하며 걸린 시간을 각각 $t_f$, $t_b$로 둔다면 다음이 성립한다.

$\displaystyle ct_f=L+vt_f, ct_b=L-vt_b, t_f=\frac{L}{c-v}, t_b=\frac{L}{c+v}, t_f+t_b=\frac{L}{c-v}+\frac{L}{c+v}=\frac{2cL}{c^2-v^2}=\frac{2L}{c} \frac{1}{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}$

이때, $t_f+t_b=\gamma t_0$이고, $\displaystyle t_0 = \frac{2L_0}{c}$이므로, 다음과 같이 정리할 수 있다.

$\displaystyle \gamma \frac{2L_0}{c} = \gamma^2 \frac{2L}{c}, L_0 = \gamma L$

즉 우주선에 대하여 정지한 관측자 $B$가 관측한 두 점 사이의 거리 $L_0$가 우주선에 대하여 정지하지 않은 관측자 $A$가 관측한 두 점 사이의 거리 $L$보다 더 크다($L_0>L$)는 것이다. 이것을 길이 수축 현상이라고 부른다.

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지금까지 이는 빛시계를 이용한 증명법이었고, 더 근본적이고 일반적으로 상대성 이론을 기술하기 위해서는 로런츠 변환을 논하게 된다. 로런츠 변환은 다음과 같이 기술된다.

$\displaystyle x'=\gamma(x-vt)$, $t'=\gamma(t-\frac{vx}{c^2})$, $\gamma=\frac{1}{ \sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2} }$

로런츠 변환식은 시공간의 균질성과 등방성을 기반으로 유도된다.

 

갈릴레이 변환을 알아보는 것부터 시작하자.

서로 다른 관성계 $S$, $S'$를 가정하자. $S'$가 $S$에 대하여 $v$의 속도로 $+x$방향으로 운동할 때, $S$와 $S'$에서의 위치와 시간을 각각 $x$, $t$, $x'$, $t'$이라고 하면, 각각의 위치와 시간 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

$x'=x-vt$, $t'=t$

$A(0,0)$, $B(t,0)$, $P(10,0)$, $P'(vt,0)$을 예시로 들어 이해해보자.

$A$가 본 $P$의 위치는 $x=10$이다. $B$가 본 $P$의 위치는 $x'=10-t$이다. $t=5$일때, $A$가 본 $P$의 위치는 $x=10$이고, $B$가 본 $P$의 위치는 $x'=5$이다.

$A$가 본 $P'$의 위치는 $x=vt$이다. $B$가 본 $P'$의 위치는 $x'=vt-t=(v-1)t$이다. $t=5$일때, $A$가 본 $P'$의 위치는 $x=5v$이고, $B$가 본 $P'$의 위치는 $x'=5(v-1)$이다.

그러나 이와 같은 변환은 광속 불변 법칙에 위배된다. 이번엔 $A(0,0)$, $B(vt,0)$, $C(ct,0)$을 가정해보자.

$A$가 본 $C$의 위치는 $x=ct$이다. $B$가 본 $C$의 위치는 $x'=ct-vt=(c-v)t$이다. 이상하다. 어떤 관성계에서 보아도 빛의 속도는 $c$로 일정해야하는데, $B$가 관측한 빛의 속도는 $c-v$다. 갈릴레이 변환은 이러한 방식으로 광속불변성을 보장하지 않기 때문에, 우리는 광속불변을 보장하는 새로운 변환을 찾아내야만 한다.

 

로런츠 변환을 설명하기 전에, 시공간의 균질성과 등방성, 그리고 시공간 간격에 대해 간략하게만 알고 넘어가자.

시공간의 균질성이란 '시공간의 어느 점에서도 물리법칙은 같다'는 가정이다. 예컨대 어제 뉴욕에선 땅에 떨어진 사과가 내일 서울에선 하늘로 솟아오르진 않는단말이다. 이러한 이유로 $x'$과 $t'$의 변환식은 $x$와 $t$에 대해 선형적이다. 선형적이지 않으면 물리법칙이 같지 않기 때문이다.

시공간의 등방성이란 '모든 방향에서 물리법칙은 같다'는 가정이다. 빛으로 따지자면 빛의 방향이 동서남북 무엇이더라도 광속은 일정하다는 것이다.

로런츠 변환은 이런 이유로 위치와 시간에 대한 선형 변환과 빛의 등방성을 통해 상대성 이론을 설명한다.

로런츠 변환에서의 로런츠 인자를 결정짓기 위해 우리는 시공간 간격에 대해서도 논하게 되는데, 지금은 단지 $s^2=(ct)^2-x^2$이라는 양이 관성계나 변환에 관계없이 일정한 크기를 가진다는 것만 알아두자.

 

$x'=\gamma(x-vt)$, $t'=At+Bx$라고 가정해보자. 이때 $\gamma$, $A$, $B$는 값을 알지 못하는 미정계수이다.

$S$계에서 $+x$방향으로 운동하는 빛을 관측($x=ct$)한다고 하면, $S'$계에서 빛의 운동은 $x'=\gamma(ct-vt)=\gamma(c-v)t=c(At+Bct)$, $\gamma(c-v)=c(A+Bc)$이다. 반대로 $S$계에서 $-x$방향으로 운동하는 빛을 관측($x=-ct$)한다고 하면, $S'$계에서 빛의 운동은 $x'=\gamma(-ct-vt)=-\gamma(c+v)t=-c(At-Bct)$, $\gamma(c+v)=c(A-Bc)$이다.

두 수식을 연립하여보자. 두 수식을 더하면 $\gamma(c-v)+\gamma(c+v)=c(A+Bc)+c(A-Bc)=2Ac=2\gamma c$, $A=\gamma$

두 수식을 빼면 $\displaystyle \gamma(c-v)-\gamma(c+v)=c(A+Bc)-c(A-Bc)=-2\gamma v=2Bc^2$, $B=-\frac{\gamma v}{c^2}$이다.

이를 다시 쓰면 $\displaystyle x'=\gamma(x-vt)$, $\displaystyle t'=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right)$이다.

이에 시공간 간격이 같다는 것을 수식적으로 써보면, $\displaystyle s^2=(ct)^2-x^2=(ct')^2-x'^2=c^2\gamma^2 \left(t-\frac{vx}{c^2}\right)^2 -\gamma^2(x-vt)^2=\gamma^2 \left\{ \left(ct-\frac{vx}{c}\right)^2 - (x-vt)^2 \right\}$

$\displaystyle =\gamma^2 \left\{ (ct)^2-2vtx+\left(\frac{vx}{c}\right)^2 - x^2+2vtx-(vt)^2 \right\}=\gamma^2\left( (ct)^2-x^2 +\left(\frac{vx}{c}\right)^2-(vt)^2 \right)$

이를 $\gamma^2$에 대해 정리하면

$\displaystyle \gamma^2=\frac{ (ct)^2-x^2 }{ (ct)^2-x^2 +\left(\frac{vx}{c}\right)^2-(vt)^2 } = \frac{1}{1+\frac{ (\frac{vx}{c})^2-(vt)^2 }{ (ct)^2-x^2 }}=\frac{1}{1+(\frac{v}{c})^2 \frac{x^2-(ct)^2}{(ct)^2-x^2}}=\frac{1}{1-(\frac{v}{c})^2}$

양변에 제곱근을 취하면 $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$이다.

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이는 어디까지나 고등학생 수준에서 이해할 수 있을 정도로만 작성된 포스트이다.

글의 전개 과정에서도 광속불변조건, 시공간 간격 불변량, $t'$변환식의 형태 등의 요소는 자세한 설명을 하지 않고 차용하기만 했으니, 시간이 남아돌면 제대로 처음부터 차근차근 알아보도록 하자.