수학자 지들끼리만 말하는 방법을 이해해보자

$f:D\to\mathbb{R}$을 집합 $D \subset \mathbb{R}$ 위에서 정의된 함수, $a$를 $D$의 극한점, $L \in R$이라 하자.

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=L \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} \forall\epsilon>0,\exists\delta>0 \; \text{s.t.} \; \forall x \in D, (0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$

이때, $a$가 $D$의 극한점이라는 것은 $\forall r>0, ( D \setminus \left\{ a \right\} )\cap (a-r,a+r)\neq\emptyset$임을 의미한다.

 

대표적인 뇌가 빠지는 정의인 엡실론-델타 논법을 들고 와보았다

하나씩 보도록 하자

 

극한점 조건과 $\forall$에 대하여

 

$D \subset \mathbb{R}$은 $D$가 실수 집합의 부분집합임을 의미한다, 단 $D$는 $a$를 극한점으로 가져야만 한다

이게 무슨 소리냐면 $a$가 $D$의 원소이건 아니건, $a$의 '근처'에 단 하나 이상의 값이라도 있어야한다는 뜻이다

단, 근처라는 말의 의미는 정확하게 짚고 넘어가야 한다, 세가지 예시를 보자
$A=\left\{ 1,2,3,4 \right\}$와 $\displaystyle B=\left\{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\cdots \right\}$와 유리수 집합 $\mathbb{Q}$다.

 

$A$에 대하여서는 극한점 $a$가 존재할 수 없다, $A \setminus \left\{ a \right\} \cap (a-r,a+r)$이 $\emptyset$이 되게 하는 $r$이 있기 때문이다

가령 $a=5$라고 해보자. $\left\{ 1,2,3,4 \right\} \cap (5-r,5+r) \neq \emptyset$이려면, 즉 두 집합 사이에 중복되는 값이 있으려면 $r>1$을 만족해야만 한다. 그러나 조건에서 요구하는 것은 $\forall r>0$, 즉 모든 양의 실수다. $r=0.5$와 같이 조건을 만족하지 않는 모순이 발생하게 하는 $r$이 있으므로, $5$가 극한점이라는 가정은 틀렸음을 알 수 있다. 다른 어떤 수를 가정해도, 그것은 $A$에 대한 극한점이 될 순 없다.

 

$B$에 대하여서는 딱 한개의 극한점 $0$이 존재한다. $A \setminus \left\{ 0 \right\} \cap (-r,r)$이 항상 $\emptyset$이 아니기 때문이다.

즉 $B$에는 0 '근처'에 단 하나 이상이라도 값이 존재한다. '근처'의 범위인 $r$을 얼마나 크게 키우고, 줄이던간에, $0$ '근처'의 영역과 $B$는 항상 겹치는 원소를 가질 것이다.

$\mathbb{Q}$에 대하여서는 모든 실수가 극한점이 된다. 어느 실수를 잡고 그 '근처'의 범위를 늘리고 줄여도, 그 '근처'의 영역과 $Q$ 또한 항상 겹치는 원소를 가질 것이다.

 

이를 좀 더 확대해석 하자면, $A$는 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$가 정의될 수 없는 공간이고, $B$는 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$가 정의되는 $a$가 $0$뿐인 공간이고, $\mathbb{Q}$는 모든 점에서 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$가 정의되는 공간이란 것을 알 수 있다.

또한 조건 자체를 간단히 재서술하자면, 극한점 조건은 극한을 다룰 점인 $a$에 대하여, $D$ 위의 국소적 영역 $(a-r,a+r)$에서의 조밀함을 보장하는 조건이다. $a$ '근처'의 값을 다루는 것이 극한인 만큼, $a$ '근처'가 다루기 쉬운 영역임을 미리 전제하는 것이다.

 

사실 극한점을 판별하는 문제의 논지 자체는 어딘가 익숙할텐데, 이는 우리가 이미 이러한 방식의 논리 전개를 배워봤기 때문이다.

공통 수학에서는 " '모든 실수가 유리수이다'라는 문장은 거짓인지 참인지, '어느 실수가 유리수이다'라는 문장은 거짓인지 참인지 판별하시오"와 같은 문제를 많이 접했을 것이다. 주로 '모든'과 '어느'의 수학적 해석을 글과 논리로 해석해야하는 문제다.

당연히 전자는 거짓이다. 모든 실수가 유리수라고 하기에는 $\pi$나 $e$와 같은 무리수가 모순을 불러일으키기 때문이다.

극한점 조건도 마찬가지이다. 모든 $r$이 이하의 조건을 만족한다고 하기에는 모순을 불러일으키는 $r$이 존재할 수 있다. 따라서 가정한 $a$가 극한점이라는 것은 거짓이다.

이것을 수학적인 기호와 수식의 세계로 끌어들이는 것이 $\forall$과 같은 기호이다. 이를 이해하면 수학적인 문장을 이해하는 것이 전혀 두려워지지 않을 것이다.

 

$\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}$와 $\text{s.t.}$