실수 전체의 집합의 정의에 관한 여러가지 접근에 대하여

이하 내용은 필자가 실수 전체의 집합의 정의에 관해 개인적으로 탐구한 내용을 정리한 것일 뿐 수학적 엄밀성을 보장하지 않습니다.

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1. 데데킨트 절단

데데킨트 절단은 코시 유리수 수열과 함께 유리수 체계로부터 실수 체계로의 확장을 가장 잘 대표하는 논리 중 하나이다.

 

유리수 전체의 집합 $\mathbb{Q}$를 분할한 두 부분집합 $A$와 $A^C$가 존재하고, 아래의 조건들을 만족한다고 하자.

1. $A\neq\emptyset$

2. $A\neq\mathbb{Q}$

3. $\forall x,y\in\mathbb{Q},(y>x\wedge y\in A)\Rightarrow x\in A$

4. $\forall x\in A,\exists y\in A, y>x$

3번 조건과 4번 조건의 차이점을 자세히 알아보자.

3번 조건은 $A$의 원소인 $y$가 존재하면 $y$보다 작은 모든 유리수들이 $A$의 원소임을 강제하는 조건이다. 즉, 집합 $A$에 대한 하계가 존재하지 않는다.

4번 조건은 $A$의 임의의 원소보다 큰 원소가 항상 적어도 한 개 이상은 존재한다는 조건이다. 어떤 원소를 임의로 지정하여도 그보다 큰 원소가 한 개 이상은 존재하므로, $A$에는 최댓값이 존재하지 않는다. 이를 보기 간단히 시각화하면 집합 $A$와 $A^C$는 다음과 같이 나타나게 된다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_cut#/media/File:Dedekind_cut_at_square_root_of_two.svg

좀 더 직관적으로 접근하자면, $A$와 $A^C$는 임의의 기점으로 분리된 두 유리수 집합이다. 그 기점은 임의로 존재할 수 있다.

유리수에서의 절단에 대하여 해당 유리수를 $A^C$의 원소로 한다. 이 경우, $A$의 원소보다 항상 큰 $A^C$의 원소가 존재하므로, $A$에 상계가 존재하지 않는 것은 아니다. 따라서 $A$는 위로 유계이고, $A$의 최소 상계는 절단 기점이 되는 유리수로 존재한다.

그러나 기점이 $Q$의 원소로써 존재하지 않는 경우도 있기에 이 점에 주의한다. 여전히 $A$는 위로 유계이지만, $A^C$에 최솟값이 존재하지 않기 때문에 $A$의 최소 상계는 유리수 범위에서 존재하지 않는다.

우리는 그 기점을 데데킨트 절단이라 부르고, $(A,A^C)$로 표시한다. 그리고 데데킨트 절단을 실수로 정의한다.

 

예를 들어 데데킨트 절단 $(\{x|x<0\text{ or }0\leq x^2<2\}, \{x|x<0\text{ or }0\leq x^2<2\}^C)$를 생각해보자. $A$는 $\emptyset$이 아니고, $\mathbb{Q}$가 아니다. $A$의 원소인 임의의 유리수 $q$를 제시해도 그보다 작은 모든 유리수는 항상 $A$의 원소이므로, $A$에 대한 하계가 존재하지 않는다. $A$의 원소인 임의의 유리수 $q$를 선택해도 $q<x$인 $A$의 원소 $x$를 제시할 수 있다. 따라서 $A$에는 최댓값이 존재하지 않는다. 이는 데데킨트 절단의 정의에 잘 부합하므로, 이 절단을 실수 $\sqrt{2}$로 정의한다.