이공계 대학수학의 공리 및 정리

[공리 1] $\mathbb{R}$의 임의의 원소 $a$와 $b$에 대해 $a$에 $b$를 더하는 것이 가능하고 그의 결과가 $\mathbb{R}$의 원소로 유일하게 나타난다.

이때 더하는 것을 덧셈이라 하고 기호 $+$로 나타내고, 그 결과를 $a+b$로 나타내고 합이라 한다.

 

[공리 2] $\mathbb{R}$의 임의의 원소 $a$와 $b$에 대해 $a$에 $b$를 곱하는 것이 가능하고 그의 결과가 $\mathbb{R}$의 원소로 유일하게 나타난다.

이때 곱하는 것을 곱셈이라 하고 기호 $\cdot$로 나타내고, 그 결과를 나타내는 실수를 $a\cdot b$ 또는 $ab$로 나타내고 곱이라 한다.

 

[공리 3] $\mathbb{R}$의 임의의 원소 $a$와 $b$에 대해 다음이 성립한다.

$a+b=b+a$, $ab=ba$

 

[공리 4] $\mathbb{R}$의 임의의 원소 $a$, $b$, $c$에 대해 다음이 성립한다.

$(a+b)+c=a+(b+c)$, $(ab)c=a(bc)$

 

[공리 5] $\mathbb{R}$의 임의의 원소 $a$, $b$, $c$에 대해 다음이 성립한다.

$a(b+c)=ab+ac$

 

[공리 6] $\mathbb{R}$의 모든 원소 $a$에 대해 다음 식을 각각 만족시키는 서로 다른 두 원소 $o$와 $e$가 $\mathbb{R}$에 존재한다.

$a+o=a$, $ae=a$

여기서 실수 $o$를 덧셈에 관한 항등원, 실수 $e$를 곱셈에 관한 항등원이라 한다. 만일 실수 $o_1$, $o_2$가 덧셈에 관한 항등원이라면 $o_1=o_1+o_2=o_2$이 성립하고, $e_1$, $e_2$가 곱셈에 관한 항등원이라면 $e_1=e_1e_2=e_2$가 성립하므로 덧셈과 곱셈에 관해 항등원은 각각 유일하다. 이때 덧셈에 관한 항등원을 $0$으로 나타내고 곱셈에 관한 항등원을 $1$로 내기로 한다. 그러면 공리 6에 의해 당연히 $0\neq1$이다. 💡실수 전체 집합에서의 항등원의 유일성에 대해 설명하는 부분이다.

 

[공리 7] $\mathbb{R}$의 각 원소 $a$에 대해 다음을 만족시키는 $\mathbb{R}$의 원소 $x$가 존재한다.

$a+x=0$

여기서 실수 $x$를 $a$의 덧셈에 관한 역원이라 한다. 만일 실수 $x_1$, $x_2$가 $a$의 덧셈에 관한 역원이라면 $x_1=x_1+0=x_1+(a+x_2)=(x_1+a)+x_2=0+x_2=x_2$가 성립하므로, $a$의 덧셈에 관한 역원은 유일하다. 이때 그 유일한 역원을 $-a$로 나타내기로 한다. 특히, 실수 $a$에 실수 $-b$를 더해서 얻은 합 $a+(-b)$를 $a-b$로 나타내기로 한다. 💡덧셈의 역원의 유일성과 뺄셈에 대해 설명하는 부분이다.

이제 실수 $a$, $b$에 대한 일차 방정식 $x+b=a$의 해 $x$에 대하여 생각해보자. 먼저 실수 $x=a-b$에 대해 $x+b=(a-b)+b=a+(-b)+b=a$이므로 방정식의 해가 존재한다. 한편 실수 $y$가 해이면 등식 $y=y+0=y+b+(-b)=a+(-b)=a-b=x$가 성립한다. 즉 주어진 방정식의 해는 유일하다. 따라서 주어진 일차 방정식 $x+b=a$의 해는 항상 존재하고 유일하다. 💡$b$를 더해서 $a$가 되는 수의 유일성에 대해 설명하는 부분이다. 또한 여러 정리나 성질의 증명 과정에서 일차 방정식이 잘 쓰이므로, 일차 방정식을 활용하는 법을 잘 확인하자.

 

[공리 8] $\mathbb{R}$의 $0$이 아닌 각 원소 $a$에 대해 다음을 만족시키는 $x$가 $\mathbb{R}$에 존재한다.

$ax=1$

여기서 $x$를 실수 $a$의 곱셈에 관한 역원이라 한다. 만일 실수 $x_1$, $x_2$가 $a\neq0$의 곱셈에 관한 역원이라면 $x_1=x_11=x_1(ax_2)=(x_1a)x_2=1x_2=x_2$이 성립하므로, $a$의 곱셈에 관한 역원은 유일하다. 이때 그 유일한 역원을 $a^{-1}$ 또는 $\displaystyle \frac{1}{a}$ 또는 $1/a$ 등의 기호를 써서 나타낸다. 특히, 실수 $a$에 실수 $b\neq0$의 곱셈에 간한 역원 $b^{-1}$을 곱해서 얻게 되는 실수(곱)를 $ab^{-1}$ 또는 $\displaystyle \frac{a}{b}$ 또는 $a/b$로 나타낸다. 💡곱셈의 역원의 유일성과 나눗셈에 대해 설명하는 부분이다.

실수 $a$, $b$에 대한 일차 방정식 $ax=b$의 해에 대하여 생각해보자. 먼저 $a=0$, $b=0$이면 어떠한 실수 $x$에 대해서도 $0x=0$이므로 모든 실수가 주어진 방정식의 해이다. 따라서 이 경우의 해는 무한히 많다. 만일 $a=0$, $b=0$이면 어떠한 실수 $x$에 대해서도 $0x=0$이고 $b\neq0$이므로 어떠한 실수도 해가 될 수 없다. 즉, 이 경우에는 해는 존재하지 않는다. 이제 $a\neq0$인 경우에 실수 $x=a^{-1}b$는 $ax=aa^{-1}b=1\cdot b=b$를 만족시키므로 $x=a^{-1}b$는 주어진 방정식의 해이다. 또 실수 $y$가 해라면, $y=1\cdot y=a^{-1}ay=a^{-1}b=x$가 성립하므로 해는 유일하다. 따라서 실수 $a$가 $0$이 아닌 경우, 또는 곱셈에 대한 역원을 가지는 경우에 일차 방정식 $ax=b$의 해는 항상 존재하고 유일하다. 💡$a$를 곱해서 $b$가 되는 수의 유일성에 대해 설명하는 부분이다. 또한 $a=0$, $b\neq0$의 경우에 일차 방정식 $ax=b$의 해가 없음을 통해 실수 0의 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않으므로 0으로 나누는 것이 불가능함을 설명한다.

 

[공리 9] 양수의 집합이라 부르는 $\mathbb{R}$의 진부분 집합 $\mathbb{R}^+$가 존재해서, $\mathbb{R}^+$의 임의의 두 원소 $a$와 $b$에 대해 다음이 성립한다.

$a+b\in\mathbb{R}^+$, $ab\in\mathbb{R}^+$

 

[공리 10] $\mathbb{R}$의 $0$이 아닌 임의의 원소 $a$에 대해 다음이 성립한다.

$a\in\mathbb{R}^+$ 또는 $-a\in\mathbb{R}^+$

이때, $-a\in\mathbb{R}^+$인 실수를 음수라고 한다.

 

[공리 11] $0$은 양수의 집합 $\mathbb{R}^+$에 속하지 않는다.

 

[공리 12] $\mathbb{R}$의 공집합이 아닌 부분 집합 $A$가 위로 유계이면 $A$의 상한이 $\mathbb{R}$의 원소로 존재한다.

 

위의 공리 9, 10, 11을 이용해서 실수의 대소와 상등을 다음과 같이 정의한다.

임의의 두 실수 $a$와 $b$에 대해 $b-a\in\mathbb{R}^+$이면, $b$가 $a$보다 크다 또는 $a$가 $b$보다 작다고 하고 $a<b$ 또는 $b>a$와 같이 나타낸다. $b-a=0$이면 $a$와 $b$가 같다고 하고 $a=b$로 나타낸다. 특히 $a>b$이거나 $a=b$일 때, 간단히 $a\geq b$ 혹은 $b\leq a$로 나타낸다. 이러한 기호 약속에 의해 다음이 성립한다.

$a=b\Leftrightarrow a\leq b$이고 $a\geq b$

 

정리 1.1-1

실수 $a$, $b$에 대하여 다음이 성립한다.
(1) $a0=0$    (2) $(-1)a=-a$    (3) $-(-a)=a$    (4) $(-a)(-b)=ab$

증명 1.1-1

(1) 먼저 공리 6에 의해 $a0+0=a0$이고 공리 7에 의해 일차 방정식 $a0+x=a0$의 해는 유일하므로 $x=0$이다. 그런데 공리 5와 공리 6에 의해 $a0+a0=a(0+0)=a0$이므로 $a0=0$이다.
(2) 정리 1.1-1(1)과 공리 7과 공리 5와 공리 6에 의해 $0=a0=a(1+(-1))=a1+(-1)a=a+(-1)a$이 성립한다. 공리 7에 의해 실수 $a$의 덧셈에 대한 역원은 $-a$로 유일하므로 $(-1)a=-a$이다.
(3) 공리 7에 의해 $-a+(-(-a))=0$이고 일차 방정식 $-a+x=0$의 해는 유일하므로 $x=-(-a)$이다. 그런데 공리 3에 의해 일차 방정식 $-a+x=0$은 $x+(-a)=0$이고 공리 7에 의해 $a$의 유일한 덧셈에 관한 역원이 $-a$이므로 $x=a$이다. 공리 7에 의해 일차 방정식의 해는 유일하므로 $a=-(-a)$이다.
(4) 정리 1.1-1(2)과 공리 3과 공리 4에 의해 $(-a)(-b)=((-1)a)((-1)b)=(((-1)a)(-1))b=((-1)(a(-1)))b=((-1)((-1)a))b=$
$(-1)((-1)a)b=(-1)(-1)(ab)=(-1)(-1)ab=-(-1)ab$이다. 정리 1.1-1(3)에 의해 $-(-1)=1$이므로 $(-a)(-b)=1ab$이다. 공리 3과 공리 6에 의해 $1ab=ab1=ab$이므로 $(-a)(-b)=ab$이다.

 

정리 1.1-2

$0$이 아닌 실수의 제곱은 양수이다. 즉, $a\cdot a=a^2>0$, $a\neq0$이다.

증명 1.1-2

실수 $a$가 $0$이 아니라면 공리 10에 의하여 $a>0$이거나 $-a>0$이다. 그러면 공리 9에 의해 $aa=a^2>0$이거나 $(-a)(-a)>0$이다. 그런데 정리 1.1-1(4)에 의하여 $(-a)(-a)=aa=a^2>0$이다.

 

정리 1.1-3

집합 $S=\{x\in\mathbb{Q}|x^2<2,x>0\}$의 상한(존재하며) $u$는 $u^2=2$인 실수이며, 유리수가 아니다.

증명 1.1-3

실수 $1$은 유리수이고 $1=1^2<2$이므로 $1\in\mathbb{S}$, 즉 집합 $S$는 공집합이 아니다. 또 $2$는 집합 $S$의 상계이다. ($\because$ 만일 $2<a$인 $a\in\mathbb{S}$가 있다면, 즉 $2$가 집합 $S$의 상계가 아니라면 $a^2>4>2$이므로 $a\notin S$가 되어 모순이다.) 따라서 실수 집합의 완비성에 의하여 집합 $S$의 최소 상계(상한)인 실수가 존재한다. 그 상한을 $u$라 하자.
이제 $u^2=2$임을 증명하기 위해 $u^2<2$, $u^2>2$가 성립하지 않음을 귀류법으로 증명한다.
(1) u^2<2라 하자. 이때 실수 $2-u^2>0$와 $2u+1$을 생각하자. 아르키메디스의 성질을 실수 $\displaystyle \frac{2u+1}{2-u^2}$에 적용하면 $\displaystyle \frac{2u+1}{2-u^2}<n$인 자연수 $n$이 존재한다. 따라서 다음 부등식을 얻는다.
$\displaystyle 2-u^2>\frac{2u+1}{n}=2\frac{u}{n}+\frac{1}{n}>2\frac{u}{n}+\frac{1}{n^2}$
이로부터 $\displaystyle (u+\frac{1}{n})^2<2$이다. 그런데 $\displaystyle u<u+\frac{1}{n}$이고 $u$가 집합 $S$의 최소 상계이므로 $\displaystyle u+\frac{1}{n}$도 집합 $S$의 상계이어야 하므로 $\displaystyle (u+\frac{1}{n})^2\geq2$이다. 따라서 $\displaystyle (u+\frac{1}{n})^2<2$이고 $\displaystyle (u+\frac{1}{n})^2\geq2$이다. 이는 모순이므로 $u^2<2$은 거짓이다.
(2) u^2>2라 하자. 이때 실수 $u^2-2>0$와 $2u$를 생각하자. 아르키메디스의 성질을 실수 $\displaystyle \frac{2u}{u^2-2}$에 적용하면 $\displaystyle \frac{2u}{u^2-2}<m$인 자연수 $m$이 존재한다. 따라서 다음 부등식을 얻는다.
$\displaystyle u^2-2>\frac{2u}{m}=2\frac{u}{m}>2\frac{u}{m}-\frac{1}{m^2}$
이로부터 $\displaystyle (u-\frac{1}{m})^2>2$이 성립하므로 $\displaystyle u-\frac{1}{m}<u$인 $\displaystyle u-\frac{1}{m}$가 집합 $S$의 상계가 된다. 이는 $u$가 $S$의 최소 상계라는 사실에 모순이 된다. 따라서 $u^2>2$은 거짓이다.
그러므로 (1)과 (2)에 의해 $u^2=2$이다. 💡$\displaystyle \frac{1}{n}$, $\displaystyle \frac{1}{m}$을 $0<r<1$인 실수 $r$으로도 생각해볼 수 있다.

$u$가 유리수가 아님은 귀류법을 통해 증명한다.
자연수 $a$에 대하여 $a^2$이 짝수이면 $a$도 짝수임을 증명한다.
$a^2$이 짝수이고, $a$가 홀수라고 가정해보자. $a=2n+1$($n$은 자연수)일때, $a^2=4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1$으로 $a^2$이 홀수이다. 따라서 가정에 위배되므로, $a^2$이 짝수이면 $a$도 짝수이다.
$u$가 $\displaystyle u=\frac{p}{q}$ (단, $q$는 0이 아니고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수)라 하자. $q\neq0$이므로 $qu=p$이고 $q^2u^2=p^2$이다. 이때, $u^2=2$이므로 $2q^2=p^2$이다. $2$로 나누어 떨어지므로 $p^2$이 짝수이고, $p^2$이 짝수이므로 $p$도 짝수 $p=2n(n\in\mathbb{Z})$로 나타낼 수 있다. $2q^2=p^2=(2n)^2=4n^2$이므로 $q^2=2n^2$이다. $2$로 나누어 떨어지므로 $q^2$이 짝수이고, $q^2$이 짝수이므로 $q$도 짝수 $q=2m(m\in\mathbb{Z})$로 나타낼 수 있다. $p$와 $q$가 공통인수 $2$를 가지고 있으므로 서로소라는 조건에 모순이다. 따라서 $u$는 유리수가 아니다.

 

정리 1.1-4

서로 다른 두 실수 사이에 유리수가 존재한다.

증명 1.1-4

$a<b$인 실수 $a$, $b$를 가정하자. 아르키메데스의 성질에 따라 $\displaystyle \frac{1}{b-a}<n$인 자연수 $n$이 존재한다.
(1) $a>0$인 경우, 아르키메데스의 성질에 따라 $M>an$인 자연수 $M$이 존재한다. $M>an$인 자연수 $M$들 중 가장 작은 자연수를 $m$이라고 하면 $m>an$, $m-1<an$이 성립한다. $\displaystyle a<\frac{m}{n}<a+\frac{1}{n}$인데, $\displaystyle \frac{1}{n}<b-a$이므로 $\displaystyle a<\frac{m}{n}<a+(b-a)=b$가 성립한다. 따라서 $a$와 $b$ 사이에 유리수인 $\displaystyle \frac{m}{n}$이 존재한다.
(2) $a=0$인 경우, $\displaystyle 0=a<\frac{1}{n}<b$이므로 $a$와 $b$ 사이에 유리수인 $\displaystyle \frac{m}{n}$이 존재한다.
(3) $a<0$인 경우, 아르키메데스의 성질에 따라 $|a|<k$인 자연수 $k$가 존재하고, $M>(a+k)n$인 자연수 $M$이 존재한다. $M>an$인 자연수 $M$들 중 가장 작은 자연수를 $m$이라고 하면 $m>(a+k)n$, $m-1<(a+k)n$이 성립한다. $\displaystyle a+k<\frac{m}{n}<a+k+\frac{1}{n}$인데, $\displaystyle \frac{1}{n}<b-a$이므로 $\displaystyle a+k<\frac{m}{n}<a+k+(b-a)=b+k$가 성립한다. 곧, $\displaystyle a<\frac{m}{n}-k<b$가 성립한다. 따라서 $a$와 $b$ 사이에 유리수인 $\displaystyle \frac{m}{n}-k$가 존재한다.
따라서 서로 다른 두 실수 사이에 유리수가 존재한다.

 

정리 1.1-5

다음 두 명제는 동치이다.
(1) $a=0$
(2) 임의의 양수 $\epsilon>0$에 대해 $0\leq|a|<\epsilon$이다.

증명 1.1-5

(1)$\Rightarrow$(2) $a=0$이면 $|a|=0$이고 정의에 의해 모든 양수는 $0$보다 크므로 (2)가 성립한다.
(2)$\Rightarrow$(1) 명제 (2)가 참일 때 명제 (1)이 거짓이라 가정하자. 이때 $a\neq0$이므로 $|a|>0$이다. 아르키메데스의 성질에 의해 $\displaystyle n>\frac{1}{|a|}$, 즉 $\displaystyle |a|>\frac{1}{n}>0$인 자연수 $n$이 존재한다. 이는 임의의 양수가 $|a|$보다 커야한다는 가정인 명제 (2)에 모순이므로, 명제 (2)가 참일 때 명제 (1)은 참이다.

 

아르키메데스의 성질

각각의 실수 $a$에 대해 $a<n$인 자연수 $n$이 존재한다.

아르키메데스의 성질 증명

만약 어떤 실수 $a$보다 큰 자연수 $n$이 존재하지 않으면 $a$는 집합 $\mathbb{N}$의 상계이다. 따라서 실수의 완비성에 관한 공리 12에 의해 $\mathbb{N}$의 상한 $\alpha\in\mathbb{R}$이 존재한다. 그런데 $\alpha-1<\alpha$이므로 $\alpha-1$은 $\mathbb{N}$의 상계가 아니다.그러므로 $\alpha-1$보다 큰 $m\in\mathbb{N}$이 존재한다. 곧, $\alpha-1<m$이므로 $\alpha<m+1$이고 $m+1\in\mathbb{N}$이다. 이것은 $\alpha$가 $\mathbb{N}$의 상계라는 가정에 모순이다. 따라서 $a$보다 큰 자연수 $n$이 존재한다.