삼각함수의 직교성에 대하여

사실 삼각함수의 직교성 이 자식이 직관으로 굉장히 접근하기 어려웠다

$\displaystyle \int \sin(nx)\sin(mx) dx$라는 녀석이 값이 어떻게 정해지는지를 어떻게 알까

내가 어떻게 그래프를 그리고, 넓이는 어떻게 안단말인가

그림으로 보는 것 보다도 수식적인 전개가 매우 절실했기 때문에 내 나름대로의 이해를 위해서라도 정리해보려고 한다

 

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우선은 $\cos(nx)\cos(mx)$에 대해서다

우리는 다음과 같은 함수가 $m, n$에 따라서 어떻게 바뀔지 알아볼 것이다.

(0) $ \displaystyle \int_{-L}^{L} \cos \bigg( \frac{n \pi x}{L} \bigg) \cos \bigg( \frac{m \pi x}{L} \bigg) dx $

 

앞으로의 전개를 위해서는 다음과 같은 삼각함수 변환과 적분을 미리 알아둬야 한다.

(1) $\displaystyle \cos A \cos B=\frac{1}{2} [ \cos(A+B)+\cos(A-B) ]$

(2) $\displaystyle \int \cos x dx = \sin x + C, \int \sin x dx = -\cos x + C$

 

$n\neq m$일 때, 위의 (1)식을 (0)식에 적용하면 다음과 같이 바꿀 수 있다

(3) $ \displaystyle \int_{-L}^{L} \frac{1}{2} \bigg[ \cos \bigg(\frac{(n+m)\pi x}{L} \bigg) + \cos \bigg(\frac{(n-m)\pi x}{L} \bigg) \bigg] dx = \frac{1}{2} \bigg[ \frac{L}{(n+m)\pi} \sin \bigg(\frac{(n+m)\pi x}{L} \bigg) + \frac{L}{(n-m)\pi} \sin \bigg(\frac{(n-m)\pi x}{L} \bigg) \bigg]_{-L}^{L}$

우리는 정수 $n$, $m$에 대하여 $\displaystyle \sin\bigg(\pm\frac{(m\pm n)\pi L}{L}\bigg)=0$이라는 것을 알기 때문에, 0이 아닌 정수 $n$과 $m$에 대하여 $n \neq m$일 때 식(3)이 0이 된다는 것을 알 수 있다. 즉 다음 식이 성립한다.

(4) $\displaystyle \int_{-L}^{L} \cos \bigg( \frac{n \pi x}{L} \bigg) \cos \bigg( \frac{m \pi x}{L} \bigg) dx=0 (n \neq m)$

 

반면, $n=m\neq0$의 경우를 (5)를 참고하여 본다면 다음과 같이 써진다.

(5) $\displaystyle \cos^2 x=\frac{\cos2x+1}{2}$

(6) $\displaystyle \int_{-L}^{L} \cos^2 \bigg( \frac{n\pi x}{L} \bigg) dx =\int_{-L}^{L} \frac{\cos(\frac{2n\pi x}{L})+1}{2}dx = \frac{1}{2}\bigg[ \frac{L}{2n\pi}\sin \bigg( \frac{2n\pi x}{L} \bigg)+x \bigg]_{-L}^{L}$

$\displaystyle \sin \bigg( \pm\frac{2n\pi L}{L} \bigg)=0$이므로, 남는 것은 $\displaystyle \frac{1}{2}[L-(-L)]=\frac{1}{2}\times2L=L$이다. 따라서 다음이 성립한다.

(7) $ \displaystyle \int_{-L}^{L} \cos \bigg( \frac{n \pi x}{L} \bigg) \cos \bigg( \frac{m \pi x}{L} \bigg)dx=L (n = m \neq 0) $

 

또한, $n=m=0$일 때, 식은 다음과 같다.

(8) $ \displaystyle \int_{-L}^{L} \cos \bigg( \frac{n \pi x}{L} \bigg) \cos \bigg( \frac{m \pi x}{L} \bigg) dx=2L (n = m = 0) $

 

(4)와 (7), (8)을 고려했을 때 (9)가 성립한다.

(9) $ \displaystyle \int_{-L}^{L} \cos \bigg( \frac{n \pi x}{L} \bigg) \cos \bigg( \frac{m \pi x}{L} \bigg) dx = \begin{cases} 0 & \text{if } n \ne m \\ L & \text{if } n = m \ne 0 \\ 2L & \text{if } n = m = 0 \end{cases} $

 

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같은 방식으로 $\sin A \sin B$나 $\cos A \sin B$의 경우도 볼 수 있다. (10)에 대한 전개 과정을 생각해보도록 하자.

(10) $ \displaystyle \int_{-L}^{L} \sin \bigg( \frac{n \pi x}{L} \bigg) \sin \bigg( \frac{m \pi x}{L} \bigg) dx $

 

$n\neq m$일 때, 식 (11)을 식 (10)에 적용하면 (12)외 같이 정리된다.

(11) $\displaystyle \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A+B)-\cos(A-B)]$

(12) $ \displaystyle \int_{-L}^{L} \frac{1}{2} \bigg[ \cos \bigg(\frac{(n+m)\pi x}{L} \bigg) - \cos \bigg(\frac{(n-m)\pi x}{L} \bigg) \bigg] dx = \frac{1}{2} \bigg[ \frac{L}{(n+m)\pi} \sin \bigg( \frac{(n+m)\pi x}{L} \bigg) - \frac{L}{(n-m)\pi} \sin \bigg( \frac{(n-m)\pi x}{L} \bigg) \bigg]_{-L}^{L}$

위와 마찬가지로 $\displaystyle \sin\bigg(\pm\frac{(m\pm n)\pi L}{L}\bigg)=0$이기 때문에, (12)의 값은 0이 된다. 즉, (13)이 성립한다.

(13) $ \displaystyle \int_{-L}^{L} \sin \bigg( \frac{n \pi x}{L} \bigg) \sin \bigg( \frac{m \pi x}{L} \bigg) dx =0(n\neq m)$

 

반면, $n=m\neq0$일 때, (14)를 활용하면 (10)은 (15)와 같이 정리된다.

(14) $\displaystyle \sin^2x=1-\cos^2x=1-\frac{\cos 2x +1}{2}=\frac{1-\cos 2x}{2}$

(15) $\displaystyle \int_{-L}^{L} \frac{1-\cos (\frac{2n \pi x}{L} ) }{2} dx=\frac{1}{2} \bigg[ x+\frac{L}{2n\pi}\sin \bigg( \frac{2n \pi x}{L} \bigg) \bigg]_{-L}^{L}$

$\displaystyle \sin \bigg( \pm \frac{2n\pi L}{L} \bigg)=0$이므로, 이 또한 남는 것은 $\displaystyle \frac{1}{2} \big[ x \big]_{-L}^{L}=L$임을 알 수 있다.

 

$n=m=0$일 때엔 0이 자명하므로, (13)과 (15)를 고려하면 (16)으로 정리된다.

 

(16) $ \displaystyle \int_{-L}^{L} \sin \bigg( \frac{n \pi x}{L} \bigg) \sin \bigg( \frac{m \pi x}{L} \bigg) dx = \begin{cases} 0 & \text{if } n \ne m \\ L & \text{if } n = m \ne 0 \\ 0 & \text{if } n = m = 0 \end{cases} $

 

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(17)에 대하여 전개해 $\sin A\cos B$의 경우도 알아보도록 하자.

(17) $ \displaystyle \int_{-L}^{L} \sin \bigg( \frac{n \pi x}{L} \bigg) \cos \bigg( \frac{m \pi x}{L} \bigg) dx $

 

$n\neq m$일 때 식 (18)을 적용하면 (19)와 같이 정리될 수 있다.

(18) $\displaystyle \sin A\cos B=\frac{1}{2}[\sin(A+B)+\sin(A-B)]$

(19) $\displaystyle \int_{-L}^{L} \frac{1}{2} \left[ \sin \left( \frac{(n+m)\pi x}{L} \right) + \sin \left( \frac{(n-m)\pi x}{L} \right) \right]dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{L}{(n+m)\pi} \cos \left( \frac{(n+m)\pi x}{L} \right) - \frac{L}{(n-m)\pi} \cos \left( \frac{(n-m)\pi x}{L} \right) \right]_{-L}^{L}$

적분구간이 $[-L,L]$이다. 즉 상수를 제외하고 봤을 때 적분항이 $\displaystyle \cos \left( \frac{(n\pm m)\pi L}{L} \right)-\cos \left( \frac{(n\pm m)\pi L}{L} \right)=0$으로 나타난다는 것이다. 따라서 이 또한 0이 되는 것을 알 수 있다.

 

$n=m\neq0$일 때는(20)과 같이 정리된다. 위와 마찬가지로 0이 된다.

(20) $\displaystyle \int_{-L}^{L} \frac{1}{2} \left[ \sin \left( \frac{(n+m)\pi x}{L}\right) \right]dx=\frac{1}{2} \left[ - \frac{L}{(m+n)\pi} \cos \left( \frac{(m+n)\pi x}{L} \right) \right]_{-L}^{L}=0$

$n=m=0$인 경우는 0에 대한 적분이므로 0임이 자명하다, 따라서 $\sin A \cos B$에 대한 직교성은 다음과 같이 정리됨을 알 수 있다.

(21) $ \displaystyle \int_{-L}^{L} \sin \bigg( \frac{n \pi x}{L} \bigg) \cos \bigg( \frac{m \pi x}{L} \bigg) dx = 0 $

 

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사실 여기부터 진짜다. 위의 정리 과정은 오일러 공식을 쓰지 않은 것이고, 오일러 공식을 사용한다면 무서우리만치 간단하게 정리된다.

오일러 공식을 변형해주면 삼각함수를 간단히 나타낼 수 있다.

$e^{i \theta}=\cos \theta + i \sin \theta$

$e^{-i \theta}=\cos \theta - i \sin \theta$

$\displaystyle 2\cos\theta=e^{i\theta}+e^{-i\theta}, \cos\theta=\frac{ e^{i\theta}+e^{-i\theta} }{2}$

$\displaystyle 2i\sin\theta=e^{i\theta}-e^{-i\theta}, \sin\theta=\frac{ e^{i\theta}-e^{-i\theta} }{2i}$

이렇게 삼각함수들을 변환해주면 삼각함수에 대한 적분이 아니라 지수함수에 대한 적분이 되게 된다.

여기에 오일러 공식에 대한 몇가지 추가적인 공식을 이용한다면 간단하게 삼각함수의 직교성을 증명할 수 있다.

$\displaystyle e^{ix}+e^{-ix}=2\Re e^{ix}, \int \Re e^{ix} dx=\Re \int e^{ix} dx$

$e^{ik}-e^{-ik}=0 (\text{for k}\in \mathbb{Z})$

직접 해보도록 하자.

 

$\displaystyle \int_{-L}^{L} \cos \left( \frac{n\pi x}{L} \right) \cos \left( \frac{m\pi x}{L} \right) dx=\int_{-L}^{L} \frac{1}{2} \left[ e^{ in\pi x/L }+e^{ -in\pi x/L } \right] \cdot \frac{1}{2} \left[ e^{ im\pi x/L }+e^{ -im\pi x/L } \right] dx$

$\displaystyle =\frac{1}{4} \int_{-L}^{L} \left[ e^{ i(n+m)\pi x/L } + e^{ i(n-m)\pi x/L }  + e^{ -i(n-m)\pi x/L }  + e^{ -i(n+m)\pi x/L } \right] dx=\frac{1}{2}\Re \int_{-L}^{L} \left[ e^{i(n+m)\pi x/L}+e^{i(n-m)\pi x/L} \right]dx$

$\displaystyle =\frac{1}{2}\Re \left[ \frac{L}{i(n+m)\pi}e^{i(n+m)\pi x/L}+ \frac{L}{i(n-m)\pi}e^{i(n-m)\pi x/L} \right]_{-L}^{L}=0$

마지막 항이 왜 0이 되느냐? $e^{ikx}-e^{-ikx}=0$이니까. 대입하면 간단히 알수 있다.

 

하지만 이는 $m\neq0$인 경우이고, $m=n\neq0$일 때도 한 번 확인해보자.

$\displaystyle \int_{-L}^{L} \cos^2 \left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx = \int_{-L}^{L} \left( \frac{ e^{in\pi x/L}+e^{-in\pi x/L} }{2} \right)^2dx=\frac{1}{4}\int_{-L}^{L} \left[ e^{2in\pi x/L} + 2 + e^{-2in\pi x/L} \right] dx=\frac{1}{4}\int_{-L}^{L} \left[ 2+2\Re e^{2in\pi x/L} \right]dx$

$\displaystyle =\frac{1}{2} \int_{-L}^{L}dx + \frac{1}{2}\Re\int_{-L}^{L}e^{in\pi x/L}dx=\frac{1}{2}(L-(-L))+\frac{1}{2}\Re\left[\frac{L}{2in\pi}e^{2in\pi x/L}\right]_{-L}^{L}=L$

 

$n=m=0$인 경우는 구태여 또 풀지 않겠다. $2L$이다.

그리하면 모두 종합하여 간단히 다음과 같이 정리된다.

$ \displaystyle \int_{-L}^{L} \cos \bigg( \frac{n \pi x}{L} \bigg) \cos \bigg( \frac{m \pi x}{L} \bigg) dx = \begin{cases} 0 & \text{if } n \ne m \\ L & \text{if } n = m \ne 0 \\ 2L & \text{if } n = m = 0 \end{cases} $

난 솔직히 삼각함수 변환 쓰는 것보다 이게 편한듯.

 

 

계속 이어서 $\sin A \sin B$의 경우도 보자.

$\displaystyle \int_{-L}^{L} \sin \left( \frac{n\pi x}{L} \right) \sin \left( \frac{m\pi x}{L} \right)dx=\int_{-L}^{L} \frac{1}{2i} \left[ e^{in\pi x/L}-e^{-in\pi x/L} \right] \cdot \frac{1}{2i} \left[ e^{im\pi x/L}-e^{-im\pi x/L} \right] dx$

$\displaystyle =-\frac{1}{4}\int_{-L}^{L} \left[ e^{i(n+m)\pi x/L} - e^{i(n-m)\pi x/L} - e^{-i(n-m)\pi x/L} + e^{-i(n+m)\pi x/L} \right]dx = -\frac{1}{2}\Re \int_{-L}^{L} \left[ e^{i(n+m)\pi x/L} - e^{i(n-m)\pi x/L}\right]dx$

$\displaystyle = -\frac{1}{2}\Re \left[ \frac{L}{i(n+m)\pi} e^{i(n+m)\pi x/L} + \frac{L}{i(n-m)\pi} e^{i(n-m)\pi x/L} \right]_{-L}^{L}=0$

 

$\displaystyle \int_{-L}^{L}\sin ^2 \left( \frac{n\pi x}{L} \right)dx=\int_{-L}^{L} \left( \frac{ e^{in\pi x/L} - e^{-in\pi x/L} }{2i} \right)^2dx=-\frac{1}{4} \int_{-L}^{L} \left[ e^{2in\pi x/L} -2 +e^{-2in\pi x/L} \right]dx=-\frac{1}{4} \int_{-L}^{L} \left[ -2 +2\Re e^{2in\pi x/L} \right]dx$

$\displaystyle = \frac{1}{2}\int_{-L}^{L} dx - \frac{1}{2}\Re\int_{-L}^{L} e^{2in\pi x/L}dx=\frac{1}{2}(L-(-L))-\frac{1}{2}\Re\left[ \frac{L}{2in\pi}e^{2in\pi x/L} \right]_{-L}^{L}=L$

 

정리하면

$ \displaystyle \int_{-L}^{L} \sin \bigg( \frac{n \pi x}{L} \bigg) \sin \bigg( \frac{m \pi x}{L} \bigg) dx = \begin{cases} 0 & \text{if } n \ne m \\ L & \text{if } n = m \ne 0 \\ 0 & \text{if } n = m = 0 \end{cases} $

 

 

계속해서 $\sin A \cos B$의 경우도 증명해보자.

$\displaystyle \int_{-L}^{L} \sin \left( \frac{n\pi x}{L} \right) \cos \left( \frac{m\pi x}{L} \right) dx=\int_{-L}^{L} \frac{1}{2} \left[ e^{in\pi x/L}+e^{-in\pi x/L} \right] \cdot \frac{1}{2i} \left[ e^{im\pi x/L}-e^{-im\pi x/L} \right] dx$

$\displaystyle =\frac{1}{4i} \int_{-L}^{L} \left[ e^{i(n+m)\pi x/L - e^{i(n-m)\pi x/L} + e^{-i(n-m)\pi x/L} - e^{-i(n+m)\pi x/L}} \right] dx=\frac{1}{4i}\int_{-L}^{L} (0+0)dx=0$

정리하면

$ \displaystyle \int_{-L}^{L} \sin \bigg( \frac{n \pi x}{L} \bigg) \cos \bigg( \frac{m \pi x}{L} \bigg) dx = 0 $

 

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이상으로 삼각함수의 직교성에 대해서 여러 방면으로 알아보았다. 개인적으로 이렇게 여러 접근법을 취해도 같은 결과를 얻을 수 있다는 것이 수학의 참 묘미라고 생각한다. 수학적 도구가 '도구'라고 불리는 데엔 이유가 있는 법이다.

그래서 결국 이 삼각함수의 직교성은 왜 정리를 하게 되는가? 이 성질이 푸리에 급수와 푸리에 변환과 직접적으로 연관되기 때문이다.

사실 이 삼각함수의 직교성은 이런 직접적인 공식 증명보다는 함수 공간에서의 내적으로써 더 큰 의미를 갖는다.

벡터 공간에서 두 벡터가 이루는 각이 직각일 때, 수식적으로 표현하자면 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$일 때, 우리는 벡터가 직교한다고 할 수 있다. 그 중에서도 특히, $\hat{i}=(1,0), \hat{j}=(0,1)$과 같이, 실수를 곱하거나 서로 더해서 모든 벡터들을 표현할 수 있는 최소 집합에 포함되는 벡터를 직교 기저 벡터라고 부른다.

함수 또한 마찬가지다. 특정 구간에서, 적절한 조건을 만족하는 함수는 직교 기저 함수를 가진다. $\displaystyle \int f(x)g(x)dx=0$인 두 함수에 실수를 곱하고 서로 더해서 모든 함수를 만들 수 있는 셈이다.

특히 주기함수를 다룰 때는 ${1, \sin (nx), \cos (nx)}$를 기저로 다루게 되는데, 이것이 푸리에 급수와 푸리에 변환의 기본 아이디어이다.

이 글 자체에서는 푸리에 급수와 푸리에 변환을 다루지 않으니, 알아보고 싶다면 다음 글을 참고하여 보자.

https://kimjw7815.tistory.com/58