삼각함수의 직교성과 푸리에 변환

푸리에 변환은 함수를 특정 주파수의 삼각함수들의 합으로 분해하는 변환이다

간단하게만 살펴보면 $ \displaystyle F(f)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi ifx}dx$로 나타낼 수 있는데, 이를 좀 더 심층적으로 분석해서 무슨 뜻인지 알아보자.

 

함수 $f(x)=\sin x+\sin 2x$를 가정해보자. $f(x)$의 그래프를 그려보면, 이 함수가 특정 주기를 가지고, 계속 진동한다는 것 정도는 알 수 있지만, 이 함수가 $\sin x$와 $\sin 2x$의 합을 나타낸다는 걸 알려면 거의 때려맞추는 것 말고는 방법이 없을 것이다. 근데 만약 이 함수에서 더 나아가서, $f(x)=\sin x+\cos 3x+\sin 7x$는? $\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{10}\sin kx$는? 이 함수들을 일일이 때려맞출 순 없을 것이다. 이 때 쓰는 것이 푸리에 변환이다.

 

푸리에 변환은 주파수 $f$를 인수로 받는 함수이다. 예를 들어서, $f(x)=\sin 2\pi x + \sin 2\cdot2\pi x$ (주파수가 1, 2인 사인 곡선의 합)에 대하여 푸리에 변환을 진행한 $F(f)$는 f축 근처에서 진동하다가, 1과 2에서 특히 큰 극대값을 가지는 형태로 나타난다.

왜 이렇게 될까? 삼각함수에 허수지수 $e^{-2\pi ift}$를 곱해준 채 적분을 하면, 허수지수의 주파수 $f$와 삼각함수의 주파수가 일치하는 지점에서 $t$에 대한 적분 값이 커지기 때문이다. 사실 이는 삼각함수의 직교성과 관련된 성질인데, 삼각함수의 직교성은 다음을 의미한다.

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{\sin(nx)\sin(mx)dx}=\frac{\pi}{2}[\delta(n-m)-\delta(n+m)]$

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{\cos(nx)\cos(mx)dx}=\frac{\pi}{2}[\delta(n-m)+\delta(n+m)]$

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{\sin(nx)\cos(mx)dx}=\frac{\pi}{2}[\delta(n-m)-\delta(n+m)]$

이 성질들은 삼각함수 곱공식과 디랙-델타 함수의 성질을 통해 유도될 수 있다.

$\displaystyle \sin(A)\sin(B)=\frac{1}{2}[\sin(A+B)-\sin(A-B)]$

$\displaystyle \cos(A)\cos(B)=\frac{1}{2}[\cos(A+B)+\cos(A-B)]$

$\displaystyle \sin(A)\cos(B)=\frac{1}{2}[\sin(A+B)+\sin(A-B)]$

디랙-델타 함수는 $\displaystyle \delta(0)\rightarrow\infty, \delta(x)=0(for \,x\neq0), \int_{-\infty}^{\infty}{\delta(x)dx}=1$의 성질을 만족하는 분포와 같다고 볼 수 있다. 대표적으로 가우시안 함수도 극한을 보내면 디랙-델타 함수로 수렴한다고 볼 수 있다.

위의 성질들을 적용해보면, 모두 $m$과 $n$이 같을 때만, 적분이 무한대로 발산하는 것을 알 수 있다. $\sin x$와 $\cos x$의 합으로 나타나는 허수지수함수의 성질을 이러한 성질과 합하면, 함수의 주파수를 분해할 수 있다.

 

어쨌든, 원래대로 돌아와서, 삼각함수의 곱꼴의 적분은 모두 각각 주파수가 일치할 때만 큰 값을 가진다는 걸 알 수 있는 셈이다.

$\sin(nx)\sin 10x$에서 $n=1\rightarrow n=10$을 따라 점점 변하는 그래프의 적분, 그리고 $\sin ^2 10x$의 적분을 생각해보면 이해가 쉬울지도 모르겠다.

3Blue1Brown의 영상에서, 감긴 그래프의 무게 중심이라는 비유와 시각화로 직관적으로 설명하고 있으니, 이해가 힘들다면 이 영상을 보는 것도 추천할만하다.

https://youtu.be/Mc9PHZ3H36M?si=SRzF1EYS9Uk-7KQt