오일러 공식의 증명에 대하여

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

왜 그럴까

 

1. 가정해보자

$f(x)=\cos x+i\sin x$라고 가정해보자

$ \displaystyle \frac{d}{dx}f(x)=-\sin x+i\cos x=i(i\sin x+\cos x)=if(x) \therefore \frac{d}{dx}f(x)=if(x)$이다

식을 변형해서 $ \displaystyle \frac{df(x)}{f(x)}=idx$로 두고 양변을 적분하여보자

$ \displaystyle  \int \frac{1}{f(x)}df(x)=\int idx$

$\ln f(x) = ix, f(x)=e^{ix}=\cos x + i\sin x$

 

다른 방법도 있다.

코시의 함수 방정식은 이러한 방정식들을 얘기한다

$f(x)+f(y)=f(x+y), f(x)f(y)=f(x+y)$

사실 이거 말고도 2개가 더 있는데, 이것만 보자

각각에 대하여서 함수의 일반해는 $f(x)=kx, f(x)=c^x$인데, 왜 그렇게 되는지와 이걸로 뭘 할 수 있는지 보자

 

우선 $f(x)+f(y)=f(x+y)$를 보자. $2f(0)=f(0)$이므로 $f(0)=0$이고, $f(n)+f(1)=f(n+1)$이다. 즉 $f(n)$은 $f(1)$을 공차로 하는 등차수열인 것이다. $f(n)=nf(1)+c$로 잡았을 때, $f(0)=0$이므로 $f(n)=nf(1)$이다. 이 때, $f(1)$은 상수이므로, $f(x)+f(y)=f(x+y)$를 만족하는 $f(x)$는 무조건 $kx$의 선형 일차식 형태라는 걸 알 수 있다.

여기서 확장해서 $f(x)f(y)=f(x+y)$를 만족하는 $f(x)$를 구할 수 있다. $\ln f(x)+\ln f(y)=\ln f(x+y)$이다. 이는 위의 코시 함수 방정식과 같은 형태이다. $\ln f(x)=g(x)$로 치환하면, 식이 $g(x)+g(y)=g(x+y)$가 되므로 더 보기 쉽다. 따라서 $\ln f(x)=kx$가 성립하므로, $f(x)=e^{kx}$이다. 이 때, $e^{kx}=(e^k)^x$이고, $e^k$는 상수이므로, $f(x)f(y)=f(x+y)$를 만족하는 $f(x)$는 무조건 지수함수 $c^x$ 꼴이라는 걸 알 수 있다.

 

이러한 사실을 알고 다시 돌아가보자.

크기가 1인 임의의 복소수 $f(x)=\cos x + i \sin x$를 가정 했을 때, $f(x)f(y)=(\cos x + i \sin x)(\cos y + i \sin y)=\cos x \cos y - \sin x \sin y + i(\sin y \cos x + \cos y \sin x)$

$=\cos(x+y)+i \sin(x+y)=f(x+y)$이다. 근데 이 때, $f(x)f(y)=f(x+y)$를 만족하는 $f(x)$는 오직 $f(x)=c^x$ 뿐이므로, $c^x=\cos x + i \sin x$이다. 양변을 미분하면 $c^x \ln c=-\sin x + i \cos x$이고, $\ln c=i$이므로, $c=e^i$이다. 원래 $f(x)$를 구하면 $f(x)=c^x=e^{ix}=\cos x + i\sin x$이다.

 

2. 급수형태로 나타내어보자

$e^x=a_0+a_1x+a_2x^2+ a_3x^3+ a_4x^4+...\cdot\cdot\cdotㄱ$로 두자

$e^0=a_0=1$이다

$ㄱ$에서 한번 미분하면 $e^x=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+...$이고, $e^0=a_1$이다

$ㄱ$에서 두번 미분하면 $e^x=2a_2+6a_3x+12a_4x^2+...$이고, $e^0=2a_2$이다

$ㄱ$에서 세번 미분하면 $e^x= 6a_3+24a_4x+ ...$이고, $e^0=6a_3$이다

$ㄱ$에서 네번 미분하면 $e^x= 24a_4+ ...$이고, $e^0=24a_4$이다

 

다시 정리하면 $ \displaystyle a_0=1, a_1=1, a_2=\frac{1}{2}, a_3\frac{1}{6}, a_4=\frac{1}{24}$이다

규칙성이 보인다, $ \displaystyle a_n=\frac{1}{n!}$이다

정확히 하자면 $ \displaystyle \frac{d^n}{dx^n}e^x=e^x=n!a_n+...$인데, $e^0=n!a_n$이고, 정리하면 $ \displaystyle a_n=\frac{1}{n!}$이다

 

원래 식으로 돌아가면 $ \displaystyle e^x=\frac{x^0}{0!}+ \frac{x^1}{1!}+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!}+ ...$인데

이걸 정리하면

 

$ \displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$이다

$\sin x = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+...\cdot\cdot\cdotㄱ$으로 두자

$\sin 0 = a_0$이다

$ㄱ$에서 한번 미분하면 $ \cos x=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4+...$이고, $\cos 0=a_1$이다

$ㄱ$에서 두번 미분하면 $ -\sin x=2a_2+6a_3x+12a_4x^2+20a_5x^3+... $이고, $-\sin 0=2a_2$이다

$ㄱ$에서 세번 미분하면 $ -\cos x= 6a_3+24a_4x+60a_5x^2+... $이고, $-\cos 0=6a_3$이다

$ㄱ$에서 네번 미분하면 $ \sin x= 24a_4+120a_5x+... $이고, $\sin 0=24a_4$이다

$ㄱ$에서 다섯번 미분하면 $\cos x=120a_5...$이고, $\cos 0=120a_5$이다

 

다시 정리하면 $ \displaystyle a_0=0, a_1=1, a_2=0, a_3=-\frac{1}{6}, a_4=0, a_5=\frac{1}{120}$이다

다시 정리하면 $a_0=\frac{0}{0!}, a_1=\frac{1}{1!}, a_2=\frac{0}{2!}, a_3=-\frac{1}{3!}, a_4=\frac{0}{4!}, a_5=\frac{1}{5!}$이다

 

원래 식으로 돌아가면 $ \displaystyle \sin x=\frac{1}{1!}x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-...$인데

이걸 정리하면

$ \displaystyle \sin x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (-1)^n }{ (2n+1)! } x^{2n+1}$이다

같은 방식으로 $ \displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (-1)^n }{ (2n)! } x^{2n}$이다.

코사인은 생략한다, 오일러 공식이 중요한 거지 테일러 전개가 중요한 것이 아니기 떄문에!

 

위 $e^x$의 테일러 전개에서 $x$를 $ix$로 치환하면

$ \displaystyle e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}$인데, $n$이 짝수일 떄와 홀수일 때를 잘 나누어서 허수부와 실수부로 구분하면

$ \displaystyle e^{ix}=(\frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...)+i(\frac{x^1}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...)$

$ \displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (-1)^n }{ (2n)! } x^{2n} + i \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (-1)^n }{ (2n+1)! } x^{2n+1}$이다

$\therefore e^{ix}=\cos x+i\sin x$이다

 

3. 물리적으로 이해해보자

 

위치벡터 $e^{it}$를 생각해보자.

$t=0$일 때, 즉 처음 위치는 $e^0=1$이므로, 이 벡터는 $(1,0)$에서 출발한다.

이 벡터의 미분, 즉 속도 $\frac{d}{dt}e^{it}=ie^{it}$는 자기자신에 $i$를 곱한 형태이다.

복소평면 상에서 $i$를 곱한다는 것은 $90^{\circ}$ 회전을 의미하는 것이므로

우리는 이 위치벡터가 속도벡터의 방향을 따라 $90^{\circ}$ 회전하며 운동하는 것을 생각해볼 수 있다

이 때, 속도 벡터가 항상 위치 벡터와 직교하는데, 이를 통해 원운동임을 쉽게 알 수 있다

초기 위치벡터의 크기가 1이므로 반지름은 1, 편각은 $t$이다

따라서 이 위치벡터가 가리키는 복소수는 복소평면의 단위원 위에서 편각 $t$를 갖는 $\cos +i\sin t$임을 알 수 있다

$\therefore e^{it}=\cos t+i\sin t$