복소로그와 주값과 다가값

복소로그에 대해 알아보기 전에, 오일러 공식과 드 무아브르 정리에 대해서 알아보자

오일러 공식 $e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$은 복소평면에서 단위원 위의 점을 각 $\theta$로 표현해주는 공식이다. 아마 수학을 공부해봤으면 한 번 즈음은 들어봤을 거라고 생각한다. 양변에 실수 $r$을 곱함으로써 $re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$와 같이 쓰면 실수축 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$이고 크기가 $r$인 복소수를 나타낼 수 있다. 일종의 극좌표계 표현이다.

드 무아브르 정리는 단위복소수의 제곱꼴과 각도에 관한 정리다. 간단히 말하자면 단위복소수를 $n$제곱하면 그 편각도 $n$배 된다는 것이다. 간단하게 다음과 같이 정리하여 알 수 있다.

$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=(e^{i\theta})^n=e^{i n\theta}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$

 

복소로그란, 복소수 범위에 대해서도 정의되는 로그 함수를 말한다. 복소로그는 주값로그와 다가로그로 나뉜다.

$\displaystyle \text{Log} (z) = \ln|z|+i\text{Arg} (z)$

$\displaystyle \text{log} (z)=\ln|z|+i\text{arg} (z)$

$\text{arg}(z)=\text{Arg}(z)+2\pi k (k\in\mathbb{Z})$

대문자로 시작하는 $\text{Log}(z)$와 $\text{Arg}(z)$는 각각 주값로그, 주편각으로, 소문자로 시작하는 $\text{log}(z)$와 $\text{arg}(z)$는 다가로그, 편각으로 불린다.

 

주값과 다가값이란 복소해석학의 용어이다.

원점과 $(\sqrt{3},1)$을 지나는 선분의 모습을 떠올려보자. 우리는 보통 이 선분이 $x$축과 이루는 각을 $30^{\circ}$라고 부르지만, 실제로는 $x$축과 $(30+360)^{\circ}$의 각도를 이루도록 정의된 선분일 수도 있다. 우리가 보기에는 별 차이는 없지만, 이 각도에 특정한 연산, 예를 들어 각도를 $2$로 나눈다면 결과는 $15^{\circ}$, $195^{\circ}$, 천차만별로 달라지게 된다.

이런 일은 복소해석학에서도 일어난다. 같은 복소수를 나타내는 $e^{i\pi}$와 $e^{7i\pi}$를 $\displaystyle \frac{1}{7}$제곱하면 각각 $\displaystyle e^{i\frac{\pi}{7}}$, $e^{i\pi}$로 전혀 다른 수를 나타내게 된다.
이러한 혼란을 미연에 방지하기 위해, 같은 값도 여러가지 표현을 가질 수 있다는 걸 상정하여 쓰는 것이 다가값, 그 중에서도 대표적인 표현만을 골라 쓰는 것이 주값이다.

 

다음 방정식을 풀어보자.

$(-1)^x=1$

$\text{log} (-1)^x = |(-1)^x|+i\text{arg} (-1)^x=|(-1)^x|+i(\text{Arg} (-1)^x+2\pi k)=1+i((1+2s)\pi+2\pi k)$